在一元二次方程中，有著名的韦达定理：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根，那么（说明：定...

九年级数学解答题中等难度题查看答案及解析

（2015秋•夏津县期末）阅读材料：如果是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么x1+x2=﹣，x1x2=，这就是著名的韦达定理．现在我们利用韦达定理解决问题：

已知m与n是方程2x2﹣6x+3=0的两根

（1）填空：m+n=　　　　 ，m•n=　　　 ；

（2）计算与m2+n2的值．

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阅读材料：对于一个关于的一元二次方程（其中a≠0，a、b、c为常数）的两根分别为，，我们有如下发现①若，为整数，则这个一元二次方程的判别式一定为完全平方数；② ，满足韦达定理：即，；

③韦达定理也有逆定理，即如果两数和满足如下关系：，，那么这两个数和是方程（）的两个根．

请应用上述材料解决以下问题：

（1）若实数，是关于的一元二次方程的两个根，

①当时，则　　　　　　 ，　　　　　　 ；

②若均为整数且，求的值；

（2）已知实数满足，，求的值．

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在一元二次方程中，有著名的韦达定理：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根，那么（说明：定理成立的条件）。比如方程中，，所以该方程有两个不等的实数根，记方程的两根为，，那么+=， =,请根据阅读材料解答下列各题：

（1）已知方程的两根为、，且 >,求下列各式的值:

①　　　　　 ②

（2）已知是一元二次方程的两个实数根．

①是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

②求使的值为整数的实数的整数值．

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设方程的两根为，由求根公式可推出，我们把这个命题叫做韦达定理．

设是方程的两根，请根据韦达定理求下列各式的值：

（1）；

（2）．

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韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根分别为x1、x2　 ， 则x1+x2=﹣　 ， x1•x2=　 ， 阅读下面应用韦达定理的过程：

若一元二次方程﹣2x2+4x+1=0的两根分别为x1、x2　 ， 求x12+x22的值．

【解析】
该一元二次方程的△=b2﹣4ac=42﹣4×（﹣2）×1=24＞0

由韦达定理可得，x1+x2=﹣=﹣=2，x1•x2===﹣

x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2

=22﹣2×（﹣）

=5

然后解答下列问题：

（1）设一元二次方程2x2+3x﹣1=0的两根分别为x1，x2， 不解方程，求x12+x22的值；

（2）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+（k2﹣1）x+（k﹣1）2=0的两根分别为α，β，且α2+β2=4，求k的值．

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韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根分别为x1、x2　 ， 则x1+x2=﹣　 ， x1•x2=　 ， 阅读下面应用韦达定理的过程：

若一元二次方程﹣2x2+4x+1=0的两根分别为x1、x2　 ， 求x12+x22的值．

【解析】
该一元二次方程的△=b2﹣4ac=42﹣4×（﹣2）×1=24＞0

由韦达定理可得，x1+x2=﹣=﹣=2，x1•x2===﹣

x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2

=22﹣2×（﹣）

=5

然后解答下列问题：

（1）设一元二次方程2x2+3x﹣1=0的两根分别为x1，x2， 不解方程，求x12+x22的值；

（2）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+（k2﹣1）x+（k﹣1）2=0的两根分别为α，β，且α2+β2=4，求k的值．

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已知方程x2+mx+3=0的一个根是1,则它的另一个根是_____,m的值是______.

【答案】3　　 -4　　

【解析】

试题根据韦达定理可得：·==3，则方程的另一根为3；根据韦达定理可得：+=－=4=－m，则m=－4.

考点：方程的解

【题型】填空题
【结束】
12

如图，D是AB上的一点．△ABC∽△ACD，且AD=2，BD=4，∠ADC=65°，∠B=43°，则∠A=________，AC=________．

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设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，由求根公式x1，2=可推出x1+x2=﹣，x1•x2=，我们把这个命题叫做韦达定理．设α，β是方程x2﹣5x+3=0的两根，请根据韦达定理求下列各式的值：

（1）α+β=　　 　，α•β=　　 　；

（2）；

（3）2α2﹣3αβ+10β．

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