阅读下列材料，解决提出的问题：最短路径问题:如图（1），点A，B分别是直线l异侧的两个点，...

阅读下列材料，解决提出的问题：

最短路径问题:如图（1），点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在直线l上找到一个点C，使得点C到点A，点B的距离和最短？我们只需连接AB，与直线l相交于一点，可知这个交点即为所求．

如图（2），如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个点到点A、点B的距离和最短？我们可以利用轴对称的性质，作出点B关于的对称点B，这时对于直线l上的任一点C，都保持CB＝CB，从而把问题（2）变为问题（1）．因此，线段AB与直线l的交点C的位置即为所求．

为了说明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′．因为AB′≤AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC'+C′B，即AC+BC最小．

任务：

数学思考

（1）材料中划线部分的依据是　　　 　．

（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是　　　 　．（填字母代号即可）

A．转化思想

B．分类讨论思想

C．整体思想

迁移应用

（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，点P为C边上的动点，点D为AB边上的动点，若AB＝8cm，则BP+DP的最小值为　　　 　cm．

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阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

如图1，P，Q是直线l同侧两点，请你在直线l上确定一个点R，使△PQR的周长最小．

小阳的解决方法如下：

如图2，

（1）作点Q关于直线l的对称点Q；

（2）连接PQ′交直线l于点R；

（3）连接RQ，PQ．

所以点R就是使△PQR周长最小的点．

老师说：“小阳的作法正确．”

请回答：小阳的作图依据是_____．

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（4分）请阅读下列材料：

问题：如图1，点，在直线的同侧，在直线上找一点，使得的值最小．小明的思路是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为所求．

请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：

（1）如图3，在图2的基础上，设与直线的交点为，过点作，垂足为．若，，，写出的值为　　　　　　　　 ；

（2）将（1）中的条件“”去掉，换成“”，其它条件不变，写出此时的值 　　　　　　　 ；

（3）+的最小值为　　　　　　　　 ．　　　　　

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阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

已知：直线l和l外一点P．

求作：直线l的垂线，使它经过点P．

小芸的作法如下：

（1）在直线上任取两点A，B；

（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧线相交于点Q；

（3）作直线PQ．

所以直线PQ就是所求的垂线．

请将小芸的作图补充完整（保留作图痕迹），小芸的作法是否正确？请说明理由．

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阅读下列材料：

小明遇到这样一个问题：已知：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求△ABC的面积．

小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积他把这种解决问题的方法称为构图法．

请回答：

（1）①图1中△ABC的面积为________；

②图1中过O点画一条线段MN，使MN＝2AB，且M、N在格点上．

（2）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．利用构图法在图2中画出三边长分别为、2、的格点△DEF．

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如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠．

（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若∠BCA=90°，∠=90°，则BE　　　　 CF；　　　　　 （填“＞”、“＜”或“=”）；（2分）

②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠与∠BCA关系的条件　　　　　　 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．（6分）

（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠=∠BCA，请提出EF、BE、AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．（2分）

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阅读下列材料：

小明遇到一个问题：在中，，，三边的长分别为、、，求的面积．

小明是这样解决问题的：如图①所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．

参考小明解决问题的方法，完成下列问题：

（）图是一个的正方形网格（每个小正方形的边长为） ．

①利用构图法在答卷的图中画出三边长分别为、、的格点．

②计算①中的面积为__________．（直接写出答案）

（）如图，已知，以，为边向外作正方形，，连接．

①判断与面积之间的关系，并说明理由．

②若，，，直接写出六边形的面积为__________．

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阅读下列材料：

小明遇到一个问题：在中，，，三边的长分别为、、，求的面积．

小明是这样解决问题的：如图①所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．

参考小明解决问题的方法，完成下列问题：

（）图是一个的正方形网格（每个小正方形的边长为） ．

①利用构图法在答卷的图中画出三边长分别为、、的格点．

②计算①中的面积为__________．（直接写出答案）

（）如图，已知，以，为边向外作正方形，，连接．

①判断与面积之间的关系，并说明理由．

②若，，，直接写出六边形的面积为__________．

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CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．

（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE_____CF；EF_____|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；

②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件_____，使①中的两个结论仍然成立。

（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想并给出理由。．

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CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．

（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE_____CF；EF_____|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；

②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件_____，使①中的两个结论仍然成立。

（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想并给出理由。．

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