任意写出一个3的倍数例如：，首先把这个数各数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把...

任意写出一个3的倍数例如：，首先把这个数各数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数重复上述运算，运算结果最终会得到一个固定不变的数M，它会掉入一个数字“黑洞”那么最终掉入“黑洞”的那个数M是______．

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把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，……如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：

，

所以32和70都是“快乐数”．

（1）最小的两位“快乐数”是　　　　　　　　 ；

（2）证明19是“快乐数”；

（3）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数” ．

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对于任意一个自然数N，将其各个数位上的数字相加得到一个数，我们把这一过程称为一次操作，把这个得到的数进行同样的操作，不断进行下去，最终会得到一个一位数K，我们把K称为N的“终极数”，并记f（N）＝K．例如，456→4+5+6＝15→1+5＝6，∴f（456）＝6．

（1）计算：f（2019）＝　　　 　．f（20192020）＝　　　 　．

（2）有一个三位自然数M＝，已知f（M）＝4，且x＜y＜z，请求出所有满足条件的自然数M．

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一个三位自然数是，将它任意两个数位的数字对调后得到一个首位不为0的新三位自然数（可以与相同），设，在所有的可能情况中，当最大时，我们称此时的是的“梦想数”，并规定．例如127按上述方法可得到新数有：217、172、721，因为所以172是172的“梦想数”，此时，．

（1）求512的“梦想数”及的值；

（2）设三位自然数交换其个位与十位上的数字得到新数，若，且能被7整除，求的值．

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一个三位正整数N，各个数位上的数字互不相同且都不为0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数，所有这些两位数的和等于这个三位数本身，则称这样的三位数N为“公主数”．例如：132，选择百位数字1和十位数字3所组成的两位数为：13和31，选择百位数字1和个位数字2组成的两位数为：12和21，选择十位数字3和个位数字2所组成的两位数为：32和23，因为13+31+12+21+32+23＝132，所以132是“公主数”．一个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这样的三位数为“伯伯数”．

（1）判断123是不是“公主数”？请说明理由．

（2）证明：当一个“伯伯数”是“公主数”时，则z＝2x．

（3）若一个“伯伯数”与132的和能被13整除，求满足条件的所有“伯伯数”．

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材料一：把一个自然数的个位数字截去，再用余下的数减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除如果差太大不易看出是否7的倍数，可重复上述截尾、倍大、相减、验差的过程，直到能清楚判断为止，例如，判断392是否7的倍数的过程如下：

，，所以，392是7的倍数：又例如判断8638是否7的倍数的过程如下：，，，所以，8638是7的倍数．

材料二：若一个四位自然数n满足千位与个位相同，百位与十位相同，我们称这个数为“对称数”将“对称数”n的前两位与后两位交换位置得到一个新的“对称数”，记，例如，，

请用材料一的方法判断6909与367能不能被7整除：

若m、p是“对称数”，其中，且a，b，c均为整数，若m能被7整除，且，求p．

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对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F（123）＝6．

（1）计算：F（241）＝_________，F（635）＝___________ ；

（2）若s，t都是“相异数”，其中s＝100x＋32，t＝150＋y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：，当F(s)＋F(t)＝18时，则k的最大值是___．

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对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．

（1）计算：F（243），F（617）；

（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．

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