已知点P是直线(>0,)上一定点,点A 是轴上一动点(不与原点重合),连结PA,过点P 作PB⊥PA,交轴于点B,探究线段PA与PB 的数量关系.
1.如图(1),当PA⊥轴时,观察图形发现线段PA与PB的数量关系是__________;
2.当PA与轴不垂直时,在图(2)中画出图形,线段PA与PB 的数量关系是否与(Ⅰ)所得结果相同?写出你的猜想并加以证明;
3.为何值时,线段PA=PB?此时∠POA的度数是多少,为什么?
九年级数学解答题中等难度题
已知点P是直线(>0,)上一定点,点A 是轴上一动点(不与原点重合),连结PA,过点P 作PB⊥PA,交轴于点B,探究线段PA与PB 的数量关系.
1.如图(1),当PA⊥轴时,观察图形发现线段PA与PB的数量关系是__________;
2.当PA与轴不垂直时,在图(2)中画出图形,线段PA与PB 的数量关系是否与(Ⅰ)所得结果相同?写出你的猜想并加以证明;
3.为何值时,线段PA=PB?此时∠POA的度数是多少,为什么?
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抛物线y=x2+bx+c经过点A、B、C,已知A(﹣1,0),C(0,﹣3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,抛物线顶点为E,EF⊥x轴于F点,M(m,0)是x轴上一动点,N是线段EF上一点,若∠MNC=90°,请指出实数m的变化范围,并说明理由.
(3)如图2,将抛物线平移,使其顶点E与原点O重合,直线y=kx+2(k>0)与抛物线相交于点P、Q(点P在左边),过点P作x轴平行线交抛物线于点H,当k发生改变时,请说明直线QH过定点,并求定点坐标.
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已知直线m∥n,点C是直线m上一点,点D是直线n上一点,CD与直线m、n不垂直,点P为线段CD的中点.
(1)操作发现:直线l⊥m,分别交m、n于点A、B,当点B与点D重合时(如图1),连结PA,请直接写出线段PA与PB的数量关系: .
(2)猜想证明:在图1的情况下,把直线l向右平移到如图2的位置,试问(1)中的PA与PB
的关系式是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
(3)延伸探究:在图2的情况下,把直线l绕点A旋转,使得∠APB=90°(如图3),若两平行线m、n之间的距离为2k,求证:PA•PB=k•AB.
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已知直线m∥n,点C是直线m上一点,点D是直线n上一点,CD与直线m、n不垂直,点P为线段CD的中点.
(1)操作发现:直线l⊥m,分别交m、n于点A、B,当点B与点D重合时(如图1),连结PA,请直接写出线段PA与PB的数量关系: .
(2)猜想证明:在图1的情况下,把直线l向右平移到如图2的位置,试问(1)中的PA与PB
的关系式是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
(3)延伸探究:在图2的情况下,把直线l绕点A旋转,使得∠APB=90°(如图3),若两平行线m、n之间的距离为2k,求证:PA•PB=k•AB.
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已知如图,对称轴为直线的抛物线与轴相交于点B、O.
(1)求抛物线的解析式,并求出顶点A的坐标.
(2) 连结AB,平移AB所在的直线,使其经过原点O,得到直线.点是上一动点,当△的周长最小时,求点P的坐标.
(3)当△的周长最小时,在直线AB的上方是否存在一点Q,使以A,B,Q为顶点的三角形与△POB相似,若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.(规定:点Q的对应顶点不为点O)
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如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形ABCO是矩形,点A,C的坐标分别是A(0,2)和C(2,0),点D是对角线AC上一动点(不与A,C重合),连结BD,作DE⊥DB,交x轴于点E,以线段DE,DB为邻边作矩形BDEF.
(1)填空:点B的坐标为 ;
(2)是否存在这样的点D,使得△DEC是等腰三角形?若存在,请求出AD的长度;若不存在,请说明理由;
(3)①求证:;
②设AD=x,矩形BDEF的面积为y,求y关于x的函数关系式(可利用①的结论),并求出y的最小值.
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如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形ABCO是矩形,点A,C的坐标分别是A(0,2)和C(2,0),点D是对角线AC上一动点(不与A,C重合),连结BD,作DE⊥DB,交x轴于点E,以线段DE,DB为邻边作矩形BDEF.
(1)填空:点B的坐标为 ;
(2)是否存在这样的点D,使得△DEC是等腰三角形?若存在,请求出AD的长度;若不存在,请说明理由;
(3)①求证:;
②设AD=x,矩形BDEF的面积为y,求y关于x的函数关系式(可利用①的结论),并求出y的最小值.
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如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,E为AB上一点,且AE=2,M为AD上一动点(不与A、D重合),AM=x,连结EM并延长交CD的延长线于F,过M作MG⊥EF交直线BC于点G,连结EG、FG.
(1)如图1,若M是AD的中点,求证:①△AEM≌△DFM;②△EFG是等腰三角形;
(2)如图2,当x为何值时,点G与点C重合?
(3)当x=3时,求△EFG的面积.
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在正方形ABCD中,E是边CD上一点(点E不与点C、D重合),连结BE.
(感知)如图①,过点A作AF⊥BE交BC于点F.易证△ABF≌△BCE.(不需要证明)
(探究)如图②,取BE的中点M,过点M作FG⊥BE交BC于点F,交AD于点G.
(1)求证:BE=FG.
(2)连结CM,若CM=1,则FG的长为 .
(应用)如图③,取BE的中点M,连结CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G,连结EG、MG.若CM=3,则四边形GMCE的面积为 .
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