发现与探索你能求 x  1x2019  x2018  x2017   x...

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发现与探索

你能求 x  1x2019  x2018  x2017   x  1 的值吗？

遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形手．先分别计算下列各式的值：

①  x 1 x  1  x2 1 ；

②  x  1x2  x  1  x3  1 ；

③  x  1x3  x2  x  1  x4  1 ；



由此我们可以得到：

 x  1x2019  x2018  x2017   x  1 　　　　　　；请你利用上面的结论，完成下面两题的计算：

（1）32019  32018  32017  3 1 ；

（2）250　  249　  248　   2 ．

七年级数学解答题困难题

少年，再来一题如何？

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你能求 x  1x2019  x2018  x2017   x  1 的值吗？
遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形手．先分别计算下列各式的值：
①  x 1 x  1  x2 1 ；
②  x  1x2  x  1  x3  1 ；
③  x  1x3  x2  x  1  x4  1 ；

由此我们可以得到：
 x  1x2019  x2018  x2017   x  1 　　　　　　；请你利用上面的结论，完成下面两题的计算：
（1）32019  32018  32017  3 1 ；
（2）250　  249　  248　   2 ．

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发现与探索：你能求（x﹣1）（x2019+x2018+x2017+……+x+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值：
（1）（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（2）（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（3）（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
……
由此我们可以得到：（x﹣1）（x2019+x2018+x2017+……+x+1）＝　　　；请你利用上面的结论，完成下面两题的计算：
（1）32019+32018+32017+……+3+1；
（2）（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+……+（﹣2）．

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探索：小明和小亮在研究一个数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系．
发现：在图1中，小明和小亮都发现：∠APC=∠A+∠C；
小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB
∴∠APQ=∠A（　　　　　　　　　　　　）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（　　　　　　　　　　　　　　）
∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
小亮是这样证明的：过点作PQ∥AB∥CD．
∴∠APQ=∠A，∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
请在上面证明过程的过程的横线上，填写依据；两人的证明过程中，完全正确的是　　　　　　　　　　．
应用：
在图2中，若∠A=120°，∠C=140°，则∠P的度数为　　　　　　；
在图3中，若∠A=30°，∠C=70°，则∠P的度数为　　　　　　　；
拓展：
在图4中，探索∠P与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．

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探索：小明和小亮在研究一个数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系．
发现：在图1中，小明和小亮都发现：∠APC=∠A+∠C；
小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB
∴∠APQ=∠A（　　　　　　　　　　　　）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（　　　　　　　　　　　　　　）
∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
小亮是这样证明的：过点作PQ∥AB∥CD．
∴∠APQ=∠A，∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
请在上面证明过程的过程的横线上，填写依据；两人的证明过程中，完全正确的是　　　　　　　　　　．
应用：
在图2中，若∠A=120°，∠C=140°，则∠P的度数为　　　　　　；
在图3中，若∠A=30°，∠C=70°，则∠P的度数为　　　　　　　；
拓展：
在图4中，探索∠P与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．

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兴趣小组遇到这样一个问题：任意选取一个数，用这个数乘以2后加8，然后除以4，再减去一开始选取的数的，则结果为多少？小组内4位成员分别令这个数为-5、3、-4、2 发现结果一样．
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（1）如图1，AC∥BD，点E为直线AC上方一点，连接CE、DE，猜想∠C、∠D、∠E的数量关系，并证明.小明发现，可以过点E作MN∥AC来解决问题，如图2，请你完成解答：
（2）用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：
如图3，AB∥CD，P是平面内一点，连接AP、CP，使AP∥BD，∠APC=100°，BM、CM分别平分∠ABD，∠DCP交于点M，求∠M的度数．
　　　　

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