(本题满分分)已知在平面直角坐标系中,点是抛物线上的一个动点,点的坐标为.
(1).如图1,直线过点且平行于轴,过点作,垂足为,连接,猜想与的大小关系: ______ (填写“>”“<”或“=” ),并证明你的猜想.
(2).请利用(1)的结论解决下列问题:
①.如图2,设点的坐标为, 连接,问是否存在最小值?如果存在,请说明理由,并求出点的坐标;如果不存在,请说明理由.
②.若过动点和点的直线交抛物线于另一点,且,求直线的解析式(图3为备用图).
九年级数学解答题中等难度题
(本题满分分)已知在平面直角坐标系中,点是抛物线上的一个动点,点的坐标为.
(1).如图1,直线过点且平行于轴,过点作,垂足为,连接,猜想与的大小关系: ______ (填写“>”“<”或“=” ),并证明你的猜想.
(2).请利用(1)的结论解决下列问题:
①.如图2,设点的坐标为, 连接,问是否存在最小值?如果存在,请说明理由,并求出点的坐标;如果不存在,请说明理由.
②.若过动点和点的直线交抛物线于另一点,且,求直线的解析式(图3为备用图).
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(本题满分12分)在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点,,与轴交于点,直线经过,两点.
(1)求抛物线的解析式;(3分)
(2)在上方的抛物线上有一动点.
①如图1,当点运动到某位置时,以为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上,求出此时点的坐标;(4分)
②如图2,过点,的直线交于点,若,求的值.
(5分)
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(本题满分12分)
如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线交轴于两点,交轴于点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若此抛物线的对称轴与直线交于点D,作⊙D与x轴相切,⊙D交轴于点E、F两点,求劣弧EF的长;
(3)P为此抛物线在第二象限图像上的一点,PG垂直于轴,垂足为点G,试确定P点的位置,使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.
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(本题满分12分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线交轴于两点,交轴于点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若此抛物线的对称轴与直线交于点D,作⊙D与x轴相切,⊙D交轴于点E、F两点,求劣弧的长;
(3)P为此抛物线在第二象限图像上的一点,PG垂直于轴,垂足为点G,试确定P点的位置,使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.
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(本题满分12分, 第(1)小题6分,第(2)小题6分)
如图,在平面直角坐标系内,已知直线与x轴、y轴分别相交于点A和点C,抛物线图像过点A和点C,抛物线与x轴的另一交点是B,
(1)求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标;
(2)若在y轴负半轴上存在点D,能使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似,请求出点D的坐标.
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(本题满分6分)
某水渠的横截面呈抛物线形,现以AB所在直线为x轴.以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.已知水面的宽AB=8米,且抛物线解析式为y=a-4.
(1)求a的值;
(2)点C(一1,m)是抛物线上一点,求点C关于原点O的对称点D;
(3)写出四边形ACBD的面积.
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(本题满分10分)
如图所示,在直角坐标系中,平行四边形OABC的顶点坐标B(6,3),C(2,3).
(1)求出过O、A、B三点的抛物线解析式;
(2)若直线恰好将平行四边形OABC的面积分成相等的两部分,试求b的值
(3)若与轴、y轴的交点分别记为M、N,(1)中抛物线的对称轴与此抛物
线及轴的交点分别记作点D、点E,试判断△OMN与△OED是否相似?
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(本题满分12分)某桥的部分横截面如图所示,上方可看作是一个经过A、C、B三点的抛物线,以桥面的水平线为x轴,经过抛物线的顶点C与x轴垂直的直线为y轴,建立直角坐标系,已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为2米(图中用线段AD、CO、BE等表示桥柱)CO=1米,FG=2米.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式。
(2)求柱子AD的高度。
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(本题满分12分)如图,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于A、B两点,点A在x轴上,点B的横坐标为-8.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为C,交直线AB于点D,作PE⊥AB于点E.
①设△PDE的周长为l,点P的横坐标为x,求l关于x的函数关系式,并求出l的最大值;
②连接PA,以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时,直接写出对应的点P的坐标.
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(本题满分12分)
如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的四个顶点坐标分别为O(0,0),A(4,0),B(4,3),C(0,3),G是对角线AC的中点,动直线MN平行于AC且交矩形OABC的一组邻边于E、F,交y轴、x轴于M、N.设点M的坐标为(0,t),△EFG的面积为S.
(1)求S与t的函数关系式;
(2)当△EFG为直角三角形时,求t的值;
(3)当点G关于直线EF的对称点G′ 恰好落在矩形OABC的一条边所在直线上时,直接写出t的值.
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