数学活动课上,老师给出如下问题:如图,将等腰直角三角形纸片沿斜边上的高AC剪开,得到等腰直角三角形△ABC与△EFD,将△EFD的直角顶点在直线BC上平移,在平移的过程中,直线AC与直线DE交于点Q,让同学们探究线段BQ与AD的数量关系和位置关系.
请你阅读下面交流信息,解决所提出的问题.
展示交流:
小敏:满足条件的图形如图甲所示图形,延长BQ与AD交于点H.我们可以证明△BCQ≌△ACD,从而易得BQ=AD,BQ⊥AD.
小慧:根据图甲,当点F在线段BC上时,我们可以验证小慧的说法是正确的.但当点F在线段CB的延长线上(如图乙)或线段CB的反向延长线上(如图丙)时,我对小慧说法的正确性表示怀疑.
(1)请你帮助小慧进行分析,小敏的结论在图乙、图丙中是否成立?请说明理由.
(选择图乙或图丙的一种情况说明即可).
(2)小慧思考问题的方式中,蕴含的数学思想是 .
拓展延伸:
根据你上面选择的图形,分别取AB、BD、DQ、AQ的中点M、N、P、T.则四边形MNPT是什么样的特殊四边形?请说明理由.
九年级数学解答题困难题
数学活动课上,老师给出如下问题:如图,将等腰直角三角形纸片沿斜边上的高AC剪开,得到等腰直角三角形△ABC与△EFD,将△EFD的直角顶点在直线BC上平移,在平移的过程中,直线AC与直线DE交于点Q,让同学们探究线段BQ与AD的数量关系和位置关系.
请你阅读下面交流信息,解决所提出的问题.
展示交流:
小敏:满足条件的图形如图甲所示图形,延长BQ与AD交于点H.我们可以证明△BCQ≌△ACD,从而易得BQ=AD,BQ⊥AD.
小慧:根据图甲,当点F在线段BC上时,我们可以验证小慧的说法是正确的.但当点F在线段CB的延长线上(如图乙)或线段CB的反向延长线上(如图丙)时,我对小慧说法的正确性表示怀疑.
(1)请你帮助小慧进行分析,小敏的结论在图乙、图丙中是否成立?请说明理由.
(选择图乙或图丙的一种情况说明即可).
(2)小慧思考问题的方式中,蕴含的数学思想是 .
拓展延伸:
根据你上面选择的图形,分别取AB、BD、DQ、AQ的中点M、N、P、T.则四边形MNPT是什么样的特殊四边形?请说明理由.
九年级数学解答题困难题查看答案及解析
在数学课上,老师提出如下问题:
如图1,将锐角三角形纸片ABC(BC>AC)经过两次折叠,得到边AB,BC,CA上的点D,E,F.使得四边形DECF恰好为菱形.小明的折叠方法如下:
如图2,(1)AC边向BC边折叠,使AC边落在BC边上,得到折痕交AB于D; (2)C点向AB边折叠,使C点与D点重合,得到折痕交BC边于E,交AC边于F.
老师说:“小明的作法正确.”
请回答:小明这样折叠的依据是 ____________________.
九年级数学填空题中等难度题查看答案及解析
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某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:
●操作发现:
在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连接MD和ME,则下列结论正确的是________(填序号即可)
①AF=AG=AB;②MD=ME;③整个图形是轴对称图形;④∠DAB=∠DMB.
●数学思考:
在任意△ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD和ME具有怎样的数量和位置关系?请给出证明过程;
●类比探索:
在任意△ABC中,仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,M是BC的中点,连接MD和ME,试判断△MED的形状.
答:________.
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数学活动——求重叠部分的面积。
问题情境:数学活动课上,老师出示了一个问题:
如图(1),将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起,其中∠ACB=∠E=90°,BC=DE=6,AC=FE=8,顶点D与边AB的中点重合,DE经过点C,DF交AC于点G。
求重叠部分(△DCG)的面积。
(1)独立思考:请解答老师提出的问题。
(2)合作交流:“希望”小组受此问题的启发,将△DEF绕点D旋转,使DE⊥AB交AC于点H,DF交AC于点G,如图(2),你能求出重叠部分(△DGH)的面积吗?请写出解答过程。
(3)提出问题:老师要求各小组向“希望”小组学习,将△DEF绕点D旋转,再提出一个求重叠部分面积的问题。“爱心”小组提出的问题是:如图(3),将△DEF绕点D旋转,DE,DF分别交AC于点M,N,使DM=MN,求重叠部分(△DMN)的面积。
任务:①请解决“爱心”小组所提出的问题,直接写出△DMN的面积是 ________ .
②请你仿照以上两个小组,大胆提出一个符合老师要求的问题,并在图中画出图形,标明字母,不必解答(注:也可在图(1)的基础上按顺时针方向旋转)。
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数学活动--求重叠部分的面积.
问题情境:数学活动课上,老师出示了一个问题:
如图1,将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起,其中∠ACB=∠E=90°,BC=DE=6,AC=FE=8,顶点D与边AB的中点重合.
(1)若DE经过点C,DF交AC于点G,求重叠部分(△DCG)的面积;
(2)合作交流:“希望”小组受问题(1)的启发,将△DEF绕点D旋转,使DE⊥AB交AC于点H,DF交AC于点G,如图2,求重叠部分(△DGH)的面积.
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问题与探索
问题情境:课堂上,老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图(1),将一张菱形纸片ABCD(∠BAD>90°)沿对角线AC剪开,得到△ABC和△ACD.
操作发现:
(1)将图(1)中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转角α,使α=∠BAC,得到如图(2)所示的△AC′D,分别延长BC和DC′交于点E,则四边形ACEC′的形状是 .
(2)创新小组将图(1)中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转角α,使α=2∠BAC,得到如图(3)所示的△AC′D,连接DB、C′C,得到四边形BCC′D,发现它是矩形,请证明这个结论.
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