善于归纳和总结的小明发现，“数形结合”是初中数学的基本思想方法，被广泛地应用在数学学习和解...

善于归纳和总结的小明发现，“数形结合”是初中数学的基本思想方法，被广泛地应用在数学学习和解决问题中．用数量关系描述图形性质和用图形描述数量关系，往往会有新的发现．小明在研究垂直于直径的弦的性质过程中（如图，直径AB⊥弦CD于E），设AE=x，BE=y，他用含x，y的式子表示图中的弦CD的长度，通过比较运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系，发现了一个关于正数x，y的不等式，你也能发现这个不等式吗？写出你发现的不等式　　 　．

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人们在长期的数学实践中总结了许多解决数学问题的方法，形成了许多光辉的数学想法，其中转化思想是中学教学中最活跃，最实用，也是最重要的数学思想，例如将不规则图形转化为规则图形就是研究图形问题比较常用的一种方法。

问题提出：求边长分别为的三角形面积。

问题解决：在解答这个问题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出边长分别为的格点三角形△ABC（如图①），AB=是直角边为1和2的直角三角形斜边，BC=是直角边分别为1和3的直角三角形的斜边，AC=是直角边分别为2和3 的直角三角形斜边，用一个大长方形的面积减去三个直角三角形的面积，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积。

(1)请直接写出图①中△ABC的面积为_______________ 。

(2)类比迁移：求边长分别为的三角形面积（请利用图②的正方形网格画出相应的△ABC，并求出它的面积）。

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因式分解是初中数学中一种重要的恒等变形，它具有广泛的应用，是解决许多数学问题的有力工具，例如，一个基本事实：“若ab=0，则a=0或b=0”，那么一元二次方程x2﹣x﹣2=0就可以通过因式分解转化为（x﹣2）（x+1）=0的形式，再由基本事实可得：x﹣2=0或x+1=0，所以方程有两个解为x=2，x=﹣1．

（1）试利用上述基本事实，解方程2x2﹣x=0；

（2）若（x2+y2）（x2+y2﹣1）﹣2=0，求x2+y2的值．

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我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．请你用等面积法来探究下列两个问题：

（1）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，请你用它来验证勾股定理；

（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC= 4，BC=3，求CD的长度．

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将代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在数学解题中有广泛应用.如用配方法分解因式：.

【解析】
原式==

==

=

请根据上述材料解决下列问题：

（1）添加一个常数，使之成为完全平方式：；

（2）利用配方法分解因式：；

（3）已知，求a+b+c的值.

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在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是改善学习的重要方法．善于学习的小明在学习了一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数后，把相关知识归纳整理如下：

（1）请你根据以上方框中的内容在下面数字序号后写出相应的结论：

①________；②________；③________；④________；

（2）如果点的坐标为（1，3），那么不等式的解集是________．

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在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.

比如： .善于动脑的小明继续探究：

当为正整数时，若，则有，所以， .

请模仿小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当为正整数时，若，请用含有的式子分别表示，得： 　　　　 ， 　　　　 ；

（2）填空：

　　　　 - 　　　　 ；

（3）若，且为正整数，求的值.

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在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.

比如： .善于动脑的小明继续探究：

当为正整数时，若，则有，所以， .

请模仿小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当为正整数时，若，请用含有的式子分别表示，得： 　　　　 ， 　　　　 ；

（2）填空：

　　　　 - 　　　　 ；

（3）若，且为正整数，求的值.

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在解分式方程时，我们第一步通常是去分母，即方程两边同乘以最简公分母（x﹣1），把分式方程变形为整式方程求解．解决这个问题的方法用到的数学思想是（ ）

A. 数形结合　　 B. 转化思想　　 C. 模型思想　　 D. 特殊到一般

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(1)请在数轴上用尺规作图作出的对应的点(要求保留作图痕迹，不写作法)　

(2)这种研究和解决问题的方式，体现了________的数学思想方法．(将下列符合的选项序号填在横线上)　

A. 数形结合                    B. 代入                          C. 换元                        D. 归纳

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