将代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，...

将代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在数学解题中有广泛应用.如用配方法分解因式：.

【解析】
原式==

==

=

请根据上述材料解决下列问题：

（1）添加一个常数，使之成为完全平方式：；

（2）利用配方法分解因式：；

（3）已知，求a+b+c的值.

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（本题9分）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．

例如：①用配方法因式分【解析】
a2+6a+8

原式=a2+6a+9－1

=（a+3）2 –1

=（a+3－1）（a+3+1）

=（a+2）（a+4）

②若M=a2－2ab+2b2－2b+2，利用配方法求M的最小值：

a2－2ab+2b2－2b+2=a2－2ab+b2+b2－2b+1+1

=（a－b）2+（b－1）2 +1

∵（a－b）2≥0，（b－1）2 ≥0

∴当a=b=1时，M有最小值1

请根据上述材料解决下列问题：

（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a 2+4a+　　　　　 ．

（2）用配方法因式分解： a2－24a+143

（3）若M=a2+2a +1，求M的最小值．

（4）已知a2+b2+c2－ab－3b－4c+7=0，求a+b+c的值．

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阅读下面的解题过程：

已知，求代数式的值．

【解析】
由，取倒数得，＝4，即2y2+3y＝1．

所以4y2+6y﹣1＝2（2y2+3y）﹣1

＝2×1﹣1＝1，

则可得＝1．

该题的解题方法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目：

已知，求的值．

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先仔细阅读材料，再解决问题：

完全平方式x2±2xy+y2＝（x±y）2以及（x±y）2的值为非负数的特点在数学学习中有广泛的应用，比如探求2x2+12x﹣4的最大（小）值时，我们可以配成完全平方式来解决：

【解析】
原式＝2（x2+6x﹣2）＝2（x2+6x+9﹣9﹣2）＝2[（x+3）2﹣11]＝2（x+3）2﹣22．

∵无论x取什么数，都有（x+3）2≥0，∴（x+3）2的最小值为0；

∴x＝﹣3时，2（x+3）2﹣22的最小值是2×0﹣22＝﹣22；

∴当x＝﹣3时，2x2+12x﹣4的最小值是﹣22．

请根据上面的解题思路，解答下列问题：

（1）多项式3x2﹣6x+12的最小值是多少，并写出对应的x的值；

（2）判断多项式有最大值还是最小值，请你说明理由并求出当x为何值时，此多项式的最大值（或最小值）是多少．

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仔细阅读材料，再尝试解决问题：

完全平方式 以及的值为非负数的特点在数学学习中有广泛的应用，比如探求 的最大（小）值时，我们可以这样处理：

【解析】
原式 = .

因为无论 取什么数，都有的值为非负数，所以的最小值为0；此时 时，进而 的最小值是 ；所以当时，原多项式的最小值是 .

请根据上面的解题思路，探求：

⑴.多项式 的最小值是多少，并写出对应的的取值；

⑵.多项式的最大值是多少，并写出对应的的取值.

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仔细阅读材料，再尝试解决问题：

完全平方式 以及的值为非负数的特点在数学学习中有广泛的应用，比如探求 的最大（小）值时，我们可以这样处理：

【解析】
原式 = .

因为无论 取什么数，都有的值为非负数，所以的最小值为0；此时 时，进而 的最小值是 ；所以当时，原多项式的最小值是 .

请根据上面的解题思路，探求：

⑴.多项式 的最小值是多少，并写出对应的的取值；

⑵.多项式的最大值是多少，并写出对应的的取值.

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阅读下列解题过程：在进行含根号的式子的运算时，我们有时会碰上如一类的式子，其实我们可以将其进一步化简，如：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请回答下列问题：

（1）观察上面的解题过程，请化简

（2）利用上面提供的信息求的值。

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对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1，可以得到这个等式，请解答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式。

（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：

若a+b+c=10，ab+ac+bc=35，则a2+b2+c2=　　　　　 　。

（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z=　　　　　 。

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数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数问题时，如：学习平方差公式和完全平方公式，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式．

以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请尝试解决问题．

构图一，小函同学从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图（）），然后拼成一个平行四边形（如图（）），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（______）．

A． 　　　　　　　　 　　 B．

C． 　　　　　 　　 D．

构图二、某住宅小区，为美化环境，提高居民的生活质量，要建造一个八边形的居民广场，如图，其中正方形与四个相同的长方形（图中阴影部分）的面积的和为，正方形的边长为，则八边形的面积为__________．

构图三、小云同学在数学课上画了一个腰长为的等腰直角三角形，如图，他在该三角形中画了一条平行于一腰的线段，得到一个腰长为的新等腰直角三角形，请你利用这个图形推导出一个关于、的等式．

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数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数问题时，如：学习平方差公式和完全平方公式，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式．

以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请尝试解决问题．

构图一，小函同学从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图（）），然后拼成一个平行四边形（如图（）），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（______）．

A． 　　　　　　　　 　　 B．

C． 　　　　　 　　 D．

构图二、某住宅小区，为美化环境，提高居民的生活质量，要建造一个八边形的居民广场，如图，其中正方形与四个相同的长方形（图中阴影部分）的面积的和为，正方形的边长为，则八边形的面积为__________．

构图三、小云同学在数学课上画了一个腰长为的等腰直角三角形，如图，他在该三角形中画了一条平行于一腰的线段，得到一个腰长为的新等腰直角三角形，请你利用这个图形推导出一个关于、的等式．

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