数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一,在研究代数问题时,如:学习平方差公式和完全平方公式,我们通过构造几何图形,用面积法可以很直观地推导出公式.
以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论,请尝试解决问题.
构图一,小函同学从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形后,将其裁成四个相同的等腰梯形(如图()),然后拼成一个平行四边形(如图()),那么通过计算两个图形阴影部分的面积,可以验证成立的公式为(______).
A. B.
C. D.
构图二、某住宅小区,为美化环境,提高居民的生活质量,要建造一个八边形的居民广场,如图,其中正方形与四个相同的长方形(图中阴影部分)的面积的和为,正方形的边长为,则八边形的面积为__________.
构图三、小云同学在数学课上画了一个腰长为的等腰直角三角形,如图,他在该三角形中画了一条平行于一腰的线段,得到一个腰长为的新等腰直角三角形,请你利用这个图形推导出一个关于、的等式.
八年级数学解答题中等难度题
数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一,在研究代数问题时,如:学习平方差公式和完全平方公式,我们通过构造几何图形,用面积法可以很直观地推导出公式.
以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论,请尝试解决问题.
构图一,小函同学从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形后,将其裁成四个相同的等腰梯形(如图()),然后拼成一个平行四边形(如图()),那么通过计算两个图形阴影部分的面积,可以验证成立的公式为(______).
A. B.
C. D.
构图二、某住宅小区,为美化环境,提高居民的生活质量,要建造一个八边形的居民广场,如图,其中正方形与四个相同的长方形(图中阴影部分)的面积的和为,正方形的边长为,则八边形的面积为__________.
构图三、小云同学在数学课上画了一个腰长为的等腰直角三角形,如图,他在该三角形中画了一条平行于一腰的线段,得到一个腰长为的新等腰直角三角形,请你利用这个图形推导出一个关于、的等式.
八年级数学解答题中等难度题查看答案及解析
数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一,在研究代数问题时,如:学习平方差公式和完全平方公式,我们通过构造几何图形,用面积法可以很直观地推导出公式.
以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论,请尝试解决问题.
构图一,小函同学从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形后,将其裁成四个相同的等腰梯形(如图()),然后拼成一个平行四边形(如图()),那么通过计算两个图形阴影部分的面积,可以验证成立的公式为(______).
A. B.
C. D.
构图二、某住宅小区,为美化环境,提高居民的生活质量,要建造一个八边形的居民广场,如图,其中正方形与四个相同的长方形(图中阴影部分)的面积的和为,正方形的边长为,则八边形的面积为__________.
构图三、小云同学在数学课上画了一个腰长为的等腰直角三角形,如图,他在该三角形中画了一条平行于一腰的线段,得到一个腰长为的新等腰直角三角形,请你利用这个图形推导出一个关于、的等式.
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(2015秋•夏津县期末)先仔细阅读材料,再尝试解决问题:
完全平方公式x2±2xy+y2=(x±y)2及(x±y)2的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用,比如探求多项式2x2+12x﹣4的最大(小)值时,我们可以这样处理:
【解析】
原式=2(x2+6x﹣2)
=2(x2+6x+9﹣9﹣2)
=2[(x+3)2﹣11]
=2(x+3)2﹣22
因为无论x取什么数,都有(x+3)2的值为非负数,所以(x+3)2的最小值为0,此时x=﹣3,进而2(x+3)2﹣22的最小值是2×0﹣22=﹣22,所以当x=﹣3时,原多项式的最小值是﹣22
解决问题:
请根据上面的解题思路,探求
(1)多项式3x2﹣6x+12的最小值是多少,并写出对应的x的取值.
(2)多项式﹣x2﹣2x+8的最大值是多少,并写出对应的x的取值.
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阅读材料,回答下列问题:
我们知道对于二次三项式这样的完全平方式,可以用公式将它分解成的形式,但是,对于二次三项式就不能直接用完全平方公式,可以采用如下方法:
==.
像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法是配方法.请同学们借助这种数学思想方法把多项式分解因式.
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先阅读下列材料,再解决问题:
阅读材料:数学上有一种根号内又带根号的数,它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号.例如:=|1+|=1+
解决问题:①模仿上例的过程填空:=_________________=________________=_________________
②根据上述思路,试将下列各式化简:
(1); (2).
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善于归纳和总结的小明发现,“数形结合”是初中数学的基本思想方法,被广泛地应用在数学学习和解决问题中.用数量关系描述图形性质和用图形描述数量关系,往往会有新的发现.小明在研究垂直于直径的弦的性质过程中(如图,直径AB⊥弦CD于E),设AE=x,BE=y,他用含x,y的式子表示图中的弦CD的长度,通过比较运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系,发现了一个关于正数x,y的不等式,你也能发现这个不等式吗?写出你发现的不等式 .
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探究应用:
(1)计算:①(x+2)(x2﹣2x+4);②(2m+n)(4m2﹣2mn+n2);
(2)上面的整式乘法计算结果比较简洁,类比学习过的平方差公式,完全平方公式的推导过程,通过观察,写出你又发现了一个新的乘法公式(请用含a、b的字母表示)
(3)下列各式能用你(2)中发现的乘法公式计算的是哪个式子(只填字母代号)
A(x+1)(x2+x+1) B.(3a+b)(3a2﹣3ab+b2)
C(m+2n)(m2﹣2mn+4n2) D(5+a)(25+10a+a2)
(4)直接用你发现的公式计算:(2a+3b)(4a2﹣6ab+9b2).
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利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式.例如,根据图甲,我们可以得到两数和的平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2.你根据图乙能得到的数学公式是怎样的?写出得到公式的过程.
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利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式.例如,根据图甲,我们可以得到两数和的平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2.你根据图乙能得到的数学公式是( )
A. (a+b)(a﹣b)=a2﹣b2 B. (a﹣b)2=a2﹣2ab+b2
C. a(a+b)=a2+ab D. a(a﹣b)=a2﹣ab
八年级数学单选题简单题查看答案及解析
因式分解是学习分式的重要基础,面对一些看似复杂的二次三项式,我们可以综合平方差公式和完全平方公式进行分解,例如:
①x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+12﹣12﹣3=(x﹣1)2﹣4=[(x﹣1)+2][(x﹣1)﹣2]=(x+1)(x﹣3);
②x2﹣4x+3=x2﹣4x+22﹣22+3=(x﹣2)2﹣1=[(x﹣2)+1][(x﹣2)﹣1]=(x﹣1)(x﹣3);
③x2+6x+5=x2+6x+32﹣32+5=(x+3)2﹣4=[(x+3)+2][(x+3)﹣2]=(x+5)(x+1);
④x2+8x﹣20=x2+8x+42﹣42﹣20=(x+4)2﹣36=[(x+4)+6][(x+4)﹣6]=(x+10)(x﹣2)
…
根据上述的提示,解答下列问题:
(1)仿照提示中的步骤,证明x2﹣10x﹣56=(x﹣14)(x+4);
(2)对二次三项式x2+10x﹣24进行因式分解.
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