操作探究:
数学研究课上,老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时,出示如图1所示的长方形纸条ABCD,其中AD=BC=1,AB=CD=5.然后在纸条上任意画一条截线段MN,将纸片沿MN折叠,MB与DN交于点K,得到△MNK.如图2所示:
探究:
(1)若∠1=70°,∠MKN= °;
(2)改变折痕MN位置,△MNK始终是 三角形,请说明理由;
应用:
(3)爱动脑筋的小明在研究△MNK的面积时,发现KN边上的高始终是个不变的值.根据这一发现,他很快研究出△KMN的面积最小值为,此时∠1的大小可以为 °
(4)小明继续动手操作,发现了△MNK面积的最大值.请你求出这个最大值.
八年级数学解答题困难题
操作探究:
数学研究课上,老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时,出示如图1所示的长方形纸条ABCD,其中AD=BC=1,AB=CD=5.然后在纸条上任意画一条截线段MN,将纸片沿MN折叠,MB与DN交于点K,得到△MNK.如图2所示:
探究:
(1)若∠1=70°,∠MKN= °;
(2)改变折痕MN位置,△MNK始终是 三角形,请说明理由;
应用:
(3)爱动脑筋的小明在研究△MNK的面积时,发现KN边上的高始终是个不变的值.根据这一发现,他很快研究出△KMN的面积最小值为,此时∠1的大小可以为 °
(4)小明继续动手操作,发现了△MNK面积的最大值.请你求出这个最大值.
八年级数学解答题困难题查看答案及解析
操作探究:
数学研究课上,老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时,出示如图1所示的长方形纸条ABCD,其中AD=BC=1,AB=CD=5.然后在纸条上任意画一条截线段MN,将纸片沿MN折叠,MB与DN交于点K,得到△MNK.如图2所示:
探究:
(1)若∠1=70°,∠MKN= °;
(2)改变折痕MN位置,△MNK始终是 三角形,请说明理由;
应用:
(3)爱动脑筋的小明在研究△MNK的面积时,发现KN边上的高始终是个不变的值.根据这一发现,他很快研究出△KMN的面积最小值为,此时∠1的大小可以为 °
(4)小明继续动手操作,发现了△MNK面积的最大值.请你求出这个最大值.
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在数学研究课上,老师出示如图1所示的长方形纸条,,,然后在纸条上任意画一条截线段,将纸片沿折叠,与交于点,得到,如图2所示:
(1)若,求的大小;
(2)改变折痕位置,判断的形状,并说明理由;
(3)爱动脑筋的小明在研究的面积时,发现边上的高始终是个不变的值.根据这一发现,他很快研究出的面积最小值为,求的大小;
(4)小明继续动手操作,发现了面积的最大值,请你求出这个最大值.
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“魅力数学”社团活动时,张老师出示了如下问题:
如图①,已知四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠DAB=120°,∠B与∠D互补,试探究线段AB,AD,AC之间的数量关系;
小敏反复探索,不得其解,张老师提示道:“数学中常通过把一个问题特殊化来找到解题思路”,于是,小敏想,若将四边形ABCD特殊化,看如何解决问题:
(1)特殊情况入手
添加条件:“∠B=∠D”,如图②易知在Rt△CDA中,∠DCA=30°,所以,写出边AD与AC之间的数量关系,同理可得AB与AC的数量关系,由此得AB,AD,AC之间的数量关系;
(2)解决原来问题
受到(1)的启发,在原问题上,添加辅助线,过点C分别作AB,AD的垂线,垂足分别为E、F,如图③,请写出探究过程;
(3)解后反思
“一题多解”是数学解题的魅力之一,小敏在张老师的引导下,受探究结论的启发,结合图中的60°角,通过构造等边三角形,利用三角形全等同样解决了该问题,请在图①中作出辅助线,并简述你的探究过程.
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数学课上林老师出示了问题:如图,AD∥BC,∠AEF=90°AD=AB=BC=DC,∠B=90°,点E是边BC的中点,且EF交∠DCG的平分线CF于点F,求证:AE=EF.
同学们作了一步又一步的研究:
(1)、经过思考,小明展示了一种解题思路:如图1,取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证△AME≌△ECF,所以AE=EF,小明的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(2)、小颖提出一个新的想法:如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(3)、小华提出:如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立.小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.
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数学课上林老师出示了问题:如图,AD∥BC,∠AEF=90°,AD=AB=BC=DC,∠B=90°,点E是边BC的中点,且EF交∠DCG的平分线CF于点F,求证:AE=EF.
同学们作了一步又一步的研究:
(1)经过思考,小明展示了一种解题思路:如图1,取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证△AME≌△ECF,所以AE=EF,小明的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(2)小颖提出一个新的想法:如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(3)小华提出:如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立.小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.
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数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F,求证:AE=EF.
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:在AB上截取BM=BE,连接ME,则AM=EC,易证△AME≌△ECF,所以AE=EF.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(2)小华提出:如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立。你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由。
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在数学探究课上,老师出示了这样的探究问题,请你一起来探究:已知:C是线段AB所在平面内任意一点,分别以AC、BC为边,在AB同侧作等边△ACE和△BCD,连结AD、BE交于点P.
(1)如图1,当点C在线段AB上移动时,线段AD 与BE的数量关系: .
(2)如图2,当点C在直线AB外,且∠ACB<120°,上面的结论是否还成立?若成立请证明,不成立说明理由.
(3)如图3,在(2)的条件下,以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF,连结AD、BE和CF交于点P,求证:PB+PC+PA=BE.
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在数学探究课上,老师出示了这样的探究问题,请你一起来探究:
已知:C是线段AB所在平面内任意一点,分别以AC、BC为边,在AB同侧作等边三角形ACE和BCD,联结AD、BE交于点P.
(1)如图1,当点C在线段AB上移动时,线段AD与BE的数量关系是: .
(2)如图2,当点C在直线AB外,且∠ACB<120°,上面的结论是否还成立?若成立请证明,不成立说明理由.
(3)在(2)的条件下,∠APE的大小是否随着∠ACB的大小的变化而发生变化,若变化,写出变化规律,若不变,请求出∠APE的度数.
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数学课上,李老师出示了如下框中的题目.
在等边中,点在上, 点在的延长线上,且, 如图,请尝试确定线段与的 大小关系,并说明理由. |
组长小敏带领全组同学讨论,进行了如下探究,请你一起完成.
()特殊情况,探索结论
当点为的中点时,如图,确定线段与的大小关系,请你直接写出结论: __________ (填“”“ ”“ ”).
()特例启发,解答题目
【解析】
题目中, 与的大小关系是: __________ (填“”“ ”“ ”).理由如下:
如图,过点作,交于点.
(请你完成接下来解答过程)
()拓展结论,设计新题
在等边中,点在直线上,点在直线上,且.若的边长为, ,直接写出的长.
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