在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：已知：C是线段AB所在平面内任意...

在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边△ACE和△BCD，连结AD、BE交于点P．

（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD 与BE的数量关系：　　　　　　 ．

（2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．

（3）如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，连结AD、BE和CF交于点P，求证：PB+PC+PA=BE．

八年级数学解答题中等难度题查看答案及解析

在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：

已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和BCD，联结AD、BE交于点P．

（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD与BE的数量关系是：　　　　 ．

（2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．

（3）在（2）的条件下，∠APE的大小是否随着∠ACB的大小的变化而发生变化，若变化，写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数．

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“魅力数学”社团活动时，张老师出示了如下问题：

如图①，已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=120°，∠B与∠D互补，试探究线段AB，AD，AC之间的数量关系；

小敏反复探索，不得其解，张老师提示道：“数学中常通过把一个问题特殊化来找到解题思路”，于是，小敏想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决问题：

（1）特殊情况入手

添加条件：“∠B=∠D”，如图②易知在Rt△CDA中，∠DCA=30°，所以，写出边AD与AC之间的数量关系，同理可得AB与AC的数量关系，由此得AB，AD，AC之间的数量关系；

（2）解决原来问题

受到（1）的启发，在原问题上，添加辅助线，过点C分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E、F，如图③，请写出探究过程；

（3）解后反思

“一题多解”是数学解题的魅力之一，小敏在张老师的引导下，受探究结论的启发，结合图中的60°角，通过构造等边三角形，利用三角形全等同样解决了该问题，请在图①中作出辅助线，并简述你的探究过程．

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操作探究：

数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图1所示的长方形纸条ABCD，其中AD=BC=1，AB=CD=5．然后在纸条上任意画一条截线段MN，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，得到△MNK．如图2所示：

探究：

（1）若∠1=70°，∠MKN=　　　　 °；

（2）改变折痕MN位置，△MNK始终是　　　　　 三角形，请说明理由；

应用：

（3）爱动脑筋的小明在研究△MNK的面积时，发现KN边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出△KMN的面积最小值为，此时∠1的大小可以为　　　　　　 °

（4）小明继续动手操作，发现了△MNK面积的最大值．请你求出这个最大值．

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操作探究：

数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图1所示的长方形纸条ABCD，其中AD=BC=1，AB=CD=5．然后在纸条上任意画一条截线段MN，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，得到△MNK．如图2所示：

探究：

（1）若∠1=70°，∠MKN=　　　　 °；

（2）改变折痕MN位置，△MNK始终是　　　　　 三角形，请说明理由；

应用：

（3）爱动脑筋的小明在研究△MNK的面积时，发现KN边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出△KMN的面积最小值为，此时∠1的大小可以为　　　　　　 °

（4）小明继续动手操作，发现了△MNK面积的最大值．请你求出这个最大值．

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数学课上，李老师出示了如下框中的题目．

组长小敏带领全组同学讨论，进行了如下探究，请你一起完成．

（）特殊情况，探索结论

当点为的中点时，如图，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： __________ （填“”“ ”“ ”）．

（）特例启发，解答题目

【解析】
题目中， 与的大小关系是： __________ （填“”“ ”“ ”）．理由如下：

如图，过点作，交于点．

（请你完成接下来解答过程）

（）拓展结论，设计新题

在等边中，点在直线上，点在直线上，且．若的边长为， ，直接写出的长．

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在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：

已知：如图在△ABC中，点D 是BA边延长线上一动点，点F 在BC上，且，连接DF交AC于点E .

（1）如图1，当点E恰为DF的中点时，请求出的值；

（2）如图2，当时，请求出的值（用含a的代数式表示）.

思考片刻后，同学们纷纷表达自己的想法：

甲：过点F作FG∥AB交AC于点G，构造相似三角形解决问题；

乙：过点F作FG∥AC交AB于点G，构造相似三角形解决问题；

丙：过点D作DG∥BC交CA延长线于点G，构造相似三角形解决问题；

老师说：“这三位同学的想法都可以” .

请参考上面某一种想法，完成第（1）问的求解过程，并直接写出第（2）问的值.

图1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图2

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在一次数学课上，周老师在屏幕上出示了一个例题，在中，，分别是，上的一点，与交于点，画出图形（如图），给出下列三个条件：①；②；③.要求同学从这三个等式中选出两个作为已知条件，可判定是等腰三角形.

请你用序号在横线上写出其中一种情形，答：_________；并给出证明.

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在数学课上，老师提出如下问题：

尺规作图：作对角线等于已知线段的菱形．

已知：两条线段、．

求作：菱形，使得其对角线分别等于和．

小军的作法如下：

如图

（）画一条线段等于．

（）分别以、为圆心，大于的长为半径，在线段的上下各作两条弧，两弧相交于、两点．

（）作直线交于点．

（）以点为圆心，线段的长为半径作两条弧，交直线于、两点，连接、、、．

所以四边形就是所求的菱形．

老师说：“小军的作法正确”．

该作图的依据是__________和___________．

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在数学课上，老师提出如下问题：

尺规作图：作对角线等于已知线段的菱形．

已知：两条线段、．

求作：菱形，使得其对角线分别等于和．

小军的作法如下：

如图

（）画一条线段等于．

（）分别以、为圆心，大于的长为半径，在线段的上下各作两条弧，两弧相交于、两点．

（）作直线交于点．

（）以点为圆心，线段的长为半径作两条弧，交直线于、两点，连接、、、．

所以四边形就是所求的菱形．

老师说：“小军的作法正确”．

该作图的依据是__________和___________．

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