已知点P是△ABC内一点,且它到三角形的三个顶点距离之和最小,则P点叫△ABC的费马点(Fermat point).已经证明:在三个内角均小于120°的△ABC中,当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时,P就是△ABC的费马点.若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点,则PD+PE+PF=( )
A. B. C. 6 D.
八年级数学单选题中等难度题
已知点P是△ABC内一点,且它到三角形的三个顶点距离之和最小,则P点叫△ABC的费马点(Fermat point).已经证明:在三个内角均小于120°的△ABC中,当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时,P就是△ABC的费马点.若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点,则PD+PE+PF=( )
A. B. C. 6 D.
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背景资料:
在已知△ABC所在平面上求一点P,使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.
这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的,所求的点被人们称为“费马点”.
如图①,当△ABC三个内角均小于120°时,费马点P在△ABC内部,此时∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,此时,PA+PB+PC的值最小.
解决问题:
(1)如图②,等边△ABC内有一点P,若点P到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求∠APB的度数.
为了解决本题,我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处,此时△ACP′≌△ABP,这样就可以利用旋转变换,将三条线段PA,PB,PC转化到一个三角形中,从而求出∠APB= ;
基本运用:
(2)请你利用第(1)题的解答思想方法,解答下面问题:
如图③,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E,F为BC上的点,且∠EAF=45°,判断BE,EF,FC之间的数量关系并证明;
能力提升:
(3)如图④,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,∠ABC=30°,点P为Rt△ABC的费马点,
连接AP,BP,CP,求PA+PB+PC的值.
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下列说法错误的是( )
A. 已知两边及一角只能作出唯一的三角形
B. 到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的三条边垂直平分线的交点
C. 腰长相等的两个等腰直角三角形全等
D. 点A(3,2)关于x轴的对称点A坐标为(3,﹣2)
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证明定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等,已知:
如图,在△ABC中,分别作AB边、BC边的垂直平分线,两线相交于点P,分别交AB边、BC边于点E、F.
求证:AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P
证明:∵点P是AB边垂直平线上的一点,
∴ = ( ).
同理可得,PB= .
∴ = (等量代换).
∴ (到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的 )
∴AB、BC、AC的垂直平分线 .
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证明定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等,已知:
如图,在△ABC中,分别作AB边、BC边的垂直平分线,两线相交于点P,分别交AB边、BC边于点E、F.
求证:AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P
证明:∵点P是AB边垂直平线上的一点,
∴ = ( ).
同理可得,PB= .
∴ = (等量代换).
∴ (到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的 )
∴AB、BC、AC的垂直平分线 .
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证明定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等,已知:
如图,在△ABC中,分别作AB边、BC边的垂直平分线,两线相交于点P,分别交AB边、BC边于点E、F.
求证:AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P
证明:∵点P是AB边垂直平线上的一点,
∴ = ( ).
同理可得,PB= .
∴ = (等量代换).
∴ (到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的 )
∴AB、BC、AC的垂直平分线 .
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如图,在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中,点A,B,C在小正方形的顶点上.
①在图中画出与△ABC关于直线1成轴对称的△A′B′C′;
②请在直线l上找到一点P,使得PC+PB的距离之和最小.
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如图是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一座凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等,则凉亭的位置应选在 ( )
A. △ABC三条中线的交点 B. △ABC三边的垂直平分线的交点
C. △ABC三条角平分线的交点 D. △ABC三条高所在直线的交点
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如图是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一座凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等,则凉亭的位置应选在 ( )
A. △ABC三条中线的交点 B. △ABC三边的垂直平分线的交点
C. △ABC三条角平分线的交点 D. △ABC三条高所在直线的交点
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如图是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一座凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等,则凉亭的位置应选在 ( )
A. △ABC三条中线的交点 B. △ABC三边的垂直平分线的交点
C. △ABC三条角平分线的交点 D. △ABC三条高所在直线的交点
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