（题型一）请你参与下面的探究过程，完成所提出的问题.（1）探究1：如图11-3-3（1），...

（题型一）请你参与下面的探究过程，完成所提出的问题.

（1）探究1：如图11-3-3（1），P是△ ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点，若∠A=70°，求∠BPC度数.

（2）探究2：如图11-3-3（2），P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，求∠BPC与∠A的数量关系，并说明理由．边形ABCD的外角∠EBC与∠BCF的平分线BP和CP的交点，设∠A+∠D=α.

①直接写出∠BPC与α的数量关系；

②根据α值的情况，判断△BPC的形状.（按角分类）

（1）　　　　　　　　　　　　 （2）　　　　　　　　　　　　　　 （3）

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请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：

（1）探究1，如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，过点D做BC边上的高DE，则DE与BC的数量关系是　　 　，△BCD的面积为　　 　；

（2）探究2，如图②，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由；

（3）探究3：如图③，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，试探究用含a的式子表示△BCD的面积，要有探究过程．

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（题型一）如图11-3-2，在五边形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC.求∠P的度数.

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认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题：

（1）已知，如图1，△ABC中，P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，求证：∠P=∠A+90°。

（2）如图2，若P点是∠ABC和∠ACB外角的角平分线的交点，∠A=80°，那么∠P=____°；

（3）如图3，△ABC中，若P点是∠ABC外角和∠ACB外角的角平分线的交点，∠A=，那么∠P=________（请用含的代数式表示）

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认真阅读下面关于三角形内外角平分线的研究片断，完成所提出的问题.

探究1：如图(1)在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+∠A，理由如下：

∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB.

∴∠1+∠2= (∠ABC+∠ACB)= (180°－∠A)=90°－∠A.

∴∠BOC=180°－(∠1+∠2)=180°－(90°－∠A)=90°+∠A

探究2：如图(2)中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由.

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认真阅读下面关于三角形内外角平分线的研究片断，完成所提出的问题．

探究1：如图(1)在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+∠A，理由如下：

∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB．

∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A．

∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°-（90°-∠A）=90°+∠A

探究2：如图(2)中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．

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认真阅读下面关于三角形内外角平分线的研究片断，完成所提出的问题．

探究1：如图(1)在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+∠A，理由如下：

∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB．

∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A．

∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°-（90°-∠A）=90°+∠A

探究2：如图(2)中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．

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数学活动课上，老师提出了一个问题：

我们知道，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系？

（1）独立思考，请你完成老师提出的问题：

如图所示，已知∠DBC和∠BCE分别为△ABC的两个外角，试探究∠A和∠DBC，∠BCE之间的数量关系.

解：

⑵合作交流，“创新小组”受此问题的启发：分别作外角∠CBD和∠BCE的平分线BF和CF，交于点F（如图所示），那么∠A与∠F之间有何数量关系？请写出解答过程.

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请完成下面的说明：（1）如图①所示，△ABC的外角平分线交于G，试说明∠BGC=90°-∠A．

说明：根据三角形内角和等于180°，可知∠ABC+∠ACB=180°-∠_____．

根据平角是180°，可知∠ABE+∠ACF=180°×2=360°，

所以∠EBC+∠FCB=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-（180°-∠_____）=180°+∠______．

根据角平分线的意义，可知∠2+∠3=（∠EBC+∠FCB）=（180°+∠_____）=90°+∠_______．

所以∠BGC=180°-（∠2+∠3）=90°-∠____．

（2）如图②所示，若△ABC的内角平分线交于点I，试说明∠BIC=90°+∠A．

（3）用（1），（2）的结论，你能说出∠BGC和∠BIC的关系吗？

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（题型四）一个凸多边形的一个内角的外角与其他内角的和为500°，求这个多边形的边数.

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