P为抛物线上任意一点,P在轴上的射影为Q,点M(4,5),则PQ与PM长度之和的最小值为________.
高三数学填空题中等难度题
P为抛物线上任意一点,P在轴上的射影为Q,点M(4,5),则PQ与PM长度之和的最小值为________.
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P为抛物线上任意一点,P在轴上的射影为Q,点M(4,5),则PQ与PM长度之和的最小值为________.
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过抛物线:的准线上任意一点作抛物线的切线,,切点分别为,,则点到准线的距离与点到准线的距离之和的最小值是______.
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,,为常数,离心率为的双曲线:上的动点到两焦点的距离之和的最小值为,抛物线:的焦点与双曲线的一顶点重合。(Ⅰ)求抛物线的方程;(Ⅱ)过直线:(为负常数)上任意一点向抛物线引两条切线,切点分别为、,坐标原点恒在以为直径的圆内,求实数的取值范围。
【解析】第一问中利用由已知易得双曲线焦距为,离心率为,则长轴长为2,故双曲线的上顶点为,所以抛物线的方程
第二问中,为,,,
故直线的方程为,即,
所以,同理可得:
借助于根与系数的关系得到即,是方程的两个不同的根,所以
由已知易得,即
【解析】
(Ⅰ)由已知易得双曲线焦距为,离心率为,则长轴长为2,故双曲线的上顶点为,所以抛物线的方程
(Ⅱ)设为,,,
故直线的方程为,即,
所以,同理可得:,
即,是方程的两个不同的根,所以
由已知易得,即
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已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=- (p>2).若拋物线C:y2=2px上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若拋物线上任意一点M处的切线l与直线l2交于点N,试问在x轴上是否存在定点Q,使Q点在以MN为直径的圆上,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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过抛物线的焦点作一条倾斜角为锐角,长度不超过的弦,且弦所在的直线与
圆有公共点,则角的最大值与最小值之和是__ _.
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