在平面直角坐标系中,对于任意点P,给出如下定义:若⊙P的半径为1,则称⊙P为点P的“伴随圆”.
(1)已知,点,
①点在点P的“伴随圆” (填“上”或“内”或“外”);
②点在点P的“伴随圆” (填“上”或“内”或“外”);
(2)若点P在轴上,且点P的“伴随圆”与直线相切,求点P的坐标;
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在平面直角坐标系中,对于任意点P,给出如下定义:若⊙P的半径为1,则称⊙P为点P的“伴随圆”.
(1)已知,点,
①点在点P的“伴随圆” (填“上”或“内”或“外”);
②点在点P的“伴随圆” (填“上”或“内”或“外”);
(2)若点P在轴上,且点P的“伴随圆”与直线相切,求点P的坐标;
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对于平面内任意一个角的“夹线圆”,给出如下定义:如果一个圆与这个角的两边都相切,则称这个圆为这个角的“夹线圆”.例如:在平面直角坐标系xOy中,以点(1,1)为圆心,1为半径的圆是x轴与y轴所构成的直角的“夹线圆”.
(1)下列各点中,可以作为x轴与y轴所构成的直角的“夹线圆”的圆心的点是哪些;
A(2,2),B(3,1),C(-1,0),D(1,-1)
(2)若⊙P为y轴和直线 l:所构成的锐角的“夹线圆”,且⊙P的半径为1,求点P的坐标.
(3)若 ⊙Q为x轴和直线所构成的锐角的“夹线圆”,且⊙Q的半径,直接写出点Q横坐标的取值范围.
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在平面直角坐标系中,对于点P(m,n)和点Q(x,y).给出如下定义:若 ,则称点Q为点P的“伴随点”.例如:点(1,2)的“伴随点”为点(5,0).
(1)若点Q(﹣2,﹣4)是一次函数y=kx+2图象上点P的“伴随点”,求k的值.
(2)已知点P(m,n)在抛物线C1:y=上,设点P的“伴随点”Q(x,y)的运动轨迹为C2.
①直接写出C2对应的函数关系式.
②抛物线C1的顶点为A,与x轴的交点为B(非原点),试判断在x轴上是否存在点M,使得以A、B、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求点M的坐标;若不存在,说明理由.
③若点P的横坐标满足﹣2≤m≤a时,点Q的纵坐标y满足﹣3≤y≤1,直接写出a的取值范围.
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在平面直角坐标系中,给出如下定义:已知两个函数,如果对于任意的自变量x,这两个函数对应的函数值记为y1、y2,都有点(x,y1)和(x,y2)关于点(x,x)中心对称(包括三个点重合时),由于对称中心都在直线y=x上,所以称这两个函数为关于直线y=x的特别对称函数.例如:y=x和y=为关于直线y=x的特别对称函数.
(1)若y=3x+2和y=kx+t(k≠0)为关于直线y=x的特别对称函数,点M(1,m)是y=3x+2上一点.
①点M(1,m)关于点(1,1)中心对称的点坐标为 .
②求k、t的值.
(2)若y=3x+n和它的特别对称函数的图象与y轴围成的三角形面积为2,求n的值.
(3)若二次函数y=ax2+bx+c和y=x2+d为关于直线y=x的特别对称函数.
①直接写出a、b的值.
②已知点P(﹣3,1)、点Q(2,1),连结PQ,直接写出y=ax2+bx+c和y=x2+d两条抛物线与线段PQ恰好有两个交点时d的取值范围.
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对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下定义:若⊙C上存在两个点A,B,使得∠APB=60°,则称P为⊙C 的关联点。已知点D(,),E(0,-2),F(,0)
(1)当⊙O的半径为1时,
①在点D,E,F中,⊙O的关联点是________;
②过点F作直线交y轴正半轴于点G,使∠GFO=30°,若直线上的点P(m,n)是⊙O的关联点,求m的取值范围;
(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点,求这个圆的半径r的取值范围。
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对于平面直角坐标系O中的点P和⊙C,给出如下定义:若⊙C上存在两个点M,N,使得∠MPN=60°,则称P为⊙C 的关联点。已知点D(,),E(0,-2),F(,0)
(1)当⊙O的半径为1时,
①在点O,D,E,F中,⊙O的关联点是______ ____;
②如果G(0,t)是⊙O的关联点,则t的取值范围是 ;
(2)如果线段EF上每一个点都是⊙O的关联点,那么⊙O的半径最小为 ;
(3)Rt⊿ABC中,∠C=90,BC=8,∠A=30,⊙P的半径为1,当点P运动时,始终确保⊿ABC的三条边中至少有一条边上恰好有唯一的⊙P的关联点。请你画出点P所走过的路线围成的图形的示意图,并在下面横线上直接写出它的总长。
答:点P经过的路线围成的图形的总长为 。
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对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下定义:若⊙C上存在一个点M,使得MP=MC,则称点P为⊙C的“等径点”,已知点D(,),E(0,2),F(﹣2,0).
(1)当⊙O的半径为1时,
①在点D,E,F中,⊙O的“等径点”是哪几个点;
②作直线EF,若直线EF上的点T(m,n)是⊙O的“等径点”,求m的取值范围.
(2)过点E作EG⊥EF交x轴于点G,若△EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”,求这个圆的半径r的取值范围.
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在平面直角坐标系xOy中,给出如下定义:
对于⊙C及⊙C外一点P,M,N是⊙C上两点,当∠MPN最大时,称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”.
(1)如图,⊙O的半径为1,
①已知点A(0,2),画出点A关于⊙O的“视角”;
若点P在直线x = 2上,则点P关于⊙O的最大“视角”的度数 ;
②在第一象限内有一点B(m,m),点B关于⊙O的“视角”为60°,求点B的坐标;
③若点P在直线上,且点P关于⊙O的“视角”大于60°,求点P的横坐标的取值范围.
(2)⊙C的圆心在x轴上,半径为1,点E的坐标为(0,1),点F的坐标为(0,-1),若线段EF上所有的点关于⊙C的“视角”都小于120°,直接写出点C的横坐标的取值范围.
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在平面直角坐标系xOy中,给出如下定义:
对于⊙C及⊙C外一点P,M,N是⊙C上两点,当∠MPN最大时,称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”.
(1)如图,⊙O的半径为1,
①已知点A(0,2),画出点A关于⊙O的“视角”;
若点P在直线x = 2上,则点P关于⊙O的最大“视角”的度数 ;
②在第一象限内有一点B(m,m),点B关于⊙O的“视角”为60°,求点B的坐标;
③若点P在直线上,且点P关于⊙O的“视角”大于60°,求点P的横坐标的取值范围.
(2)⊙C的圆心在x轴上,半径为1,点E的坐标为(0,1),点F的坐标为(0,-1),若线段EF上所有的点关于⊙C的“视角”都小于120°,直接写出点C的横坐标的取值范围.
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