高二数学解答题试题 - 极难题

已知, .

(1)当时， 为增函数，求实数的取值范围；

(2)设函数，若不等式对恒成立，求实数的取值范围.

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20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示．

（1）求频率分布直方图中的值；

（2）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数．

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（本题满分13分）已知椭圆的离心率为，且它的一个焦点的坐标为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设过焦点的直线与椭圆相交于两点，是椭圆上不同于的动点，试求的面积的最大值.

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如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为，一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且它的实轴长等于虚轴长，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和，其中在轴的同一侧.

（1）求椭圆和双曲线的标准方程；

（2）是否存在题设中的点，使得？若存在， 求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

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（本小题12分）如图所示，在平面直角坐标系中，过椭圆内一点的一条直线与椭圆交于点，且，其中为常数．

（1）求椭圆的离心率；

（2）当点恰为椭圆的右顶点时，试确定对应的值；

（3）当时，求直线的斜率．

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已知函数.

（1）当时，求函数在上的最大值；

（2）令，若在区间上为单调递增函数，求的取值范围；

（3）当时，函数的图象与轴交于两点且，又是的导函数.若正常数满足条件.证明：<0.

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已知，动点满足．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点（1,0）作直线与曲线交于两点，若，求直线的方程；

（3）设为曲线在第一象限内的一点，曲线在处的切线与轴分别交于点，求面积的最小值．

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定义：我们把椭圆的焦距与长轴的长度之比即，叫做椭圆的离心率.若两个椭圆的离心率相同，称这两个椭圆相似.

（1）判断椭圆与椭圆是否相似？并说明理由；

（2）若椭圆与椭圆相似，求的值；

（3）设动直线与（2）中的椭圆交于两点，试探究：在椭圆上是否存在异于的定点，使得直线的斜率之积为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.

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已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）讨论函数在区间上的单调性；

（2）已知，若对任意，有，求实数的取值范围.

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