在矩形中，以所在直线为轴，以中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．已知点的坐标为，...

在矩形中，以所在直线为轴，以中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．已知点的坐标为，E、F为的两个三等分点，和交于点，的外接圆为⊙．

（1）求证：；

（2）求⊙的方程；

（3）设点，过点P作直线与⊙交于M，N两点，若点M恰好是线段PN的中点，求实数的取值范围．

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已知平面直角坐标系内三点、、在一条直线上，满足，，，且，其中为坐标原点.

（1）求实数、的值；

（2）设△的重心为，且，且、为线段的三等分点，求的值.

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在矩形中中，，为动点，的延长线与（或其延长线）分别交于点，若

（1）若以线段所在的直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，试求动点的轨迹方程；

（2）不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点，若的中点在抛物线上，求直线的斜率的取值范围．

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在矩形中中，，为动点，的延长线与（或其延长线）分别交于点，若

（1）若以线段所在的直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，试求动点的轨迹方程；

（2）不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点，若的中点在抛物线上，求直线的斜率的取值范围．

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在平面直角坐标系中，已知矩形的长为，宽为， 、边分别在轴、轴的正半轴上， 点与坐标原点重合.将矩形折叠，是点落在线段上.

（Ⅰ）当点落在中点时，求折痕所在的直线方程.

（Ⅱ）若折痕所在直线的斜率为，求折痕所在的直线方程与轴的交点坐标.（答案中可以出现）

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在平面直角坐标系中，已知矩形的长为２，宽为１，边分别在ｘ轴、ｙ轴的正半轴上，点与坐标原点重合（如图4所示），将矩形折叠，使点落在线段上.

（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为，试写出折痕所在直线的方程；

（Ⅱ）设折痕线段为EF，记， 求的解析式.

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如图，椭圆的一个焦点是，为坐标原点．

（1）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（2）设过点的直线交椭圆于两点．若直线绕点任意转动，则有，求的取值范围．

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如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1， ， 边分别在轴、轴的正半轴上， 点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，设此点为.

（1）若折痕的斜率为-1，求折痕所在的直线的方程；

（2）若折痕所在直线的斜率为，（ 为常数），试用表示点的坐标，并求折痕所在的直线的方程；

（3）当时，求折痕长的最大值.

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