若函数在R上有两个零点，则实数k的取值范围为_____________

已知函数.

（1）设实数使得恒成立，求的取值范围；

（2）设，若函数在区间上有两个零点，求的取值范围．

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已知函数.

（1）设实数k使得恒成立，求k的取值范围.

（2）设.若函数在区间内有两个零点，求k的取值范围.

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（本题满分12分）已知函数

（1）若对任意实数，函数值恒大于零，求实数的取值范围；

（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．

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对于实数，定义运算“”：设函数若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

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：已知，对：和是方程的两个根，不等式对任意实数恒成立；：函数有两个零点，求使“且”为真命题的实数的取值范围。

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已知，对：和是方程的两个根，不等式对任意实数恒成立；：函数有两个零点，求使“且”为真命题的实数的取值范围。

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（本小题满分13分）已知函数．

（1）若对于区间内的任意，总有成立，求实数的取值范围；

（2）若函数在区间内有两个不同的零点，求：

①实数的取值范围； ②的取值范围．

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已知函数.

（1）试讨论函数的单调性；

（2）若该函数有两个不同的零点，试求：

（i）实数的取值范围；

（ii）证明：.

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已知函数有两个极值点，，且，若存在满足等式，，且函数至多有两个零点，则实数的取值范围为__________．

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已知，设和是方程的两个根，不等式对任意实数恒成立；函数有两个不同的零点.求使“P且Q”为真命题的实数的取值范围.

【解析】本试题主要考查了命题和函数零点的运用。由题设x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2，

∴|x₁－x₂|＝＝.

当a∈[1,2]时，的最小值为3. 当a∈[1,2]时，的最小值为3.

要使|m－5|≤|x₁－x₂|对任意实数a∈[1,2]恒成立，只须|m－5|≤3，即2≤m≤8.

由已知，得f(x)＝3x²＋2mx＋m＋＝0的判别式

Δ＝4m²－12(m＋)＝4m²－12m－16>0，

得m<－1或m>4.

可得到要使“P∧Q”为真命题，只需P真Q真即可。

【解析】
由题设x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2，

∴|x₁－x₂|＝＝.

当a∈[1,2]时，的最小值为3.

要使|m－5|≤|x₁－x₂|对任意实数a∈[1,2]恒成立，只须|m－5|≤3，即2≤m≤8.

由已知，得f(x)＝3x²＋2mx＋m＋＝0的判别式

Δ＝4m²－12(m＋)＝4m²－12m－16>0，

得m<－1或m>4.

综上，要使“P∧Q”为真命题，只需P真Q真，即

解得实数m的取值范围是(4,8]

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