如图所示，在正方体中 ， ， 分别是棱和上的点， 若是直角，则等于__________．

如图所示，在正方体中 ， ， 分别是棱和上的点， 若是直角，则等于__________．

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如图, 椭圆的离心率是,点在椭圆上, 设点分别是椭圆的右顶点和上顶点, 过 点引椭圆的两条弦、.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与的斜率是互为相反数.

①直线的斜率是否为定值？若是求出该定值, 若不是,说明理由；

②设、的面积分别为和 ,求的取值范围.

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已知矩形是圆柱体的轴截面，分别是下底面圆和上底面圆的圆心，母线长与底面圆的直径长之比为，且该圆柱体的体积为，如图所示．

(1)求圆柱体的侧面积的值；

(2)若是半圆弧的中点，点在半径上，且，异面直线与所成的角为，求的值．

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如图，在直角梯形中，，若分别是线段和上的动点，则的取值范围是 __________．

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如图，在直角梯形中，，若分别是线段和上的动点，则的取值范围是 __________．

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正方形的四个顶点分别在抛物线和上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在阴影区域的概率是　　　　　　 .

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正方形的四个顶点，，，分别在抛物线和上，

如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是　　　 ．

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（本小题共14分）

如图，在四棱柱中，底面是正方形，侧棱与底面垂直，点是正方形对角线的交点，，点，分别在和上，且．

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）若，求的长；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角的余弦值．

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在棱长为1的正方体中，E，F分别为线段CD和上的动点，且满足，则四边形所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（　　）

A.有最小值 B.有最大值 C.为定值3 D.为定值2

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(本大题满分13分)如图，现有一块半径为2m，圆心角为的扇形铁皮，欲从其中裁剪出一块内接五边形，使点在弧上，点分别在半径和上，四边形是矩形，点在弧上，点在线段上，四边形是直角梯形．现有如下裁剪方案：先使矩形的面积达到最大，在此前提下，再使直角梯形的面积也达到最大.

（Ⅰ）设,当矩形的面积最大时，求的值；

（Ⅱ）求按这种裁剪方法的原材料利用率．

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