（本题满分16分，第（1）小题7分，第（2）小题9分）如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球...

（本题满分16分，第（1）小题7分，第（2）小题9分）

如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等．铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2．（单位：mm，加工中不计损失）．

（1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积；

（2）若每块钢板的厚度为mm，求钉身的长度（结果精确到mm）．

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（本题满分16分）如图，储油灌的表面积为定值，它的上部是半球，下部是圆柱，半球的半径等于圆柱底面半径．

（1）试用半径表示出储油灌的容积，并写出的范围．

（2）当圆柱高与半径的比为多少时，储油灌的容积最大？

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（本题满分12分）要用甲，乙两种不同的钢板生产A,B两种产品，甲种钢板每块同时可生产A产品1件，B产品2件，乙种钢板每块同时可生产A产品2件，B产品1件．若生产A产品10件，B产品14件，怎样使用能使所用钢板张数最少？

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(本题满分14分)．有一块边长为4的正方形钢板，现对其切割、焊接成一个长方体形无盖容器(切、焊损耗忽略不计)．有人应用数学知识作如下设计：在钢板的四个角处各切去一个边长为的小正方形，剰余部分围成一个长方体，该长方体的高是小正方形的边长．

(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体容器的的容积V₁（用表示）；

(2)经过设计（1）的方法，计算得到当时，V_l取最大值，为了材料浪费最少，工人师傅还实践出了其它焊接方法，请写出与（1）的焊接方法更佳（使材料浪费最少，容积比V_l大）的设计方案，并计算利用你的设计方案所得到的容器的容积。

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（本题满分6分）

（如图）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积

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（本题满分6分）（如图）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积

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（本题满分12分）

如图，轴截面为边长是2的正方形的圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且是圆的直径．

（1）求三棱柱的体积；

（2）证明：平面⊥平面

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（本题满分13分）如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）设，在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三棱柱内的概率为．

（ⅰ）当点C在圆周上运动时，求的最大值；

（ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值．

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（本题满分15分）如图，在半径为的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上，将所截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），记圆柱形罐子的体积为．

（1）按下列要求建立函数关系式：

①设，将表示为的函数；

②设（），将表示为的函数；

（2）请您选用（1）问中的一个函数关系，求圆柱形罐子的最大体积．

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（本题满分15分）如图，在半径为的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上，将所截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），记圆柱形罐子的体积为．

（1）按下列要求建立函数关系式：

①设，将表示为的函数；

②设（），将表示为的函数；

（2）请您选用（1）问中的一个函数关系，求圆柱形罐子的最大体积．

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