数学课上，王老师布置如下任务：如图，△ABC中，BC>AB>AC，在BC边上取一点P，使∠APC=2∠ABC．
小路的作法如下：
① 作AB边的垂直平分线，交BC于点P，交AB于点Q；
② 连结AP．
请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：
∵ PQ是AB的垂直平分线
∴ AP= ， （依据： ）；
∴ ∠ABC= ， （依据： ）．
∴ ∠APC=2∠ABC．
八年级数学填空题简单题
数学课上，王老师布置如下任务：如图，△ABC中，BC>AB>AC，在BC边上取一点P，使∠APC=2∠ABC．
小路的作法如下：
① 作AB边的垂直平分线，交BC于点P，交AB于点Q；
② 连结AP．
请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：
∵ PQ是AB的垂直平分线
∴ AP= ， （依据： ）；
∴ ∠ABC= ， （依据： ）．
∴ ∠APC=2∠ABC．
八年级数学填空题简单题
数学课上，王老师布置如下任务：如图，△ABC中，BC>AB>AC，在BC边上取一点P，使∠APC=2∠ABC．
小路的作法如下：
① 作AB边的垂直平分线，交BC于点P，交AB于点Q；
② 连结AP．
请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：
∵ PQ是AB的垂直平分线
∴ AP= ， （依据： ）；
∴ ∠ABC= ， （依据： ）．
∴ ∠APC=2∠ABC．
八年级数学填空题简单题查看答案及解析
阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：△ABC，
尺规作图：求作∠APC＝∠ABC．
小明同学的主要作法如下：
如图甲：①作∠CAD＝∠ACB，且点D与点B在AC的异侧；②在射线AD上截取AP＝CB，连结CP．所以∠APC＝∠ABC．
问题：小明的作法正确吗？请你用帮助小明写出证明过程．
八年级数学解答题中等难度题查看答案及解析
如图，在△ABC中，BC＞AB＞AC，甲，乙两人想在BC上取一点P，使得∠APC＝2∠ABC，其作法如下：(甲)作AB的中垂线，交BC于P点，则P即为所求；(乙)以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于P点，则P即为所求，对于两人的作法，下列判断正确的是( )
A. 两人都正确 B. 两人都错误 C. 甲正确，乙错误 D. 甲错误，乙正确
八年级数学单选题简单题查看答案及解析
一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图6，在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC于点O，点P，D分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E.求证：△BPO≌△PDE．
理清思路，完成解答.
本题证明的思路可用下列框图表示：
根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．
（2）特殊位置，证明结论.
若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD．
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阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图，△ABC及AC边的中点O。
求作：平行四边形ABCD。
小敏的作法如下：
①连接BO并延长，在延长线上截取OD＝BO；
②连接DA，DC.
所以四边形ABCD就是所求作的平行四边形.
老师说：“小敏的作法正确．”
请回答：小敏的作法正确的理由是_________________________________.
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数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=8，AC=6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，再证明“△ADC≌△EDB”．
（1）探究得出AD的取值范围是_____；
（2）（问题解决）如图2，△ABC中，∠B=90°，AB=2，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE=4，且∠ADE=90°，求AE的长．
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阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形；
求作：菱形AECF，使点E，F分别在BC，AD上．
小凯的作法如下：
(1)连接AC；
(2)作AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于E，F．
(3)连接AE，CF
所以四边形AECF是菱形．
老师说：“小凯的作法正确”．
回答下列问题：
根据小凯的做法，小明将题目改编为一道证明题，请你帮助小明完成下列步骤：
(1)已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上， ．(补全已知条件)
求证：四边形AECF是菱形．
(2)证明：(写出证明过程)
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阅读下面材料，解答后面问题：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°．
求作：矩形ABCD．
小敏的作法如下：
①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；
②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝BO；
③连接DA，DC．
则四边形ABCD即为所求．
判断小敏的作法是否正确？若正确，请证明；若不正确，请说明理由．
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在数学课上，老师提出如下问题：
如图1，将锐角三角形纸片ABC(BC＞AC)经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F.使得四边形DECF恰好为菱形．
小明的折叠方法如下：
如图2，(1)AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D;(2)C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F.
老师说：“小明的作法正确．”
请回答：小明这样折叠的依据是______________________________________．
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如图，△ABC的边AB、AC上分别有定点M、N，请在BC边上找一点P，使得△PMN的周长最短． （写出作法，保留作图痕迹）
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