在长方体中,二面角的大小为,与平面所成角的大小为,那么异面直线与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
高二数学单选题中等难度题
(本小题满分10分)
如图,在棱长为3的正方体中,.
⑴求两条异面直线与所成角的余弦值;
⑵求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
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如图,在正方体中, 分别是棱的中点, 为棱上一点,且异面直线与所成角的余弦值为.
(1)证明: 为的中点;
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨令正方体的棱长为2,设,利用,解得,即可证得;
(2)分别求得平面与平面的法向量,利用求解即可.
(1)证明:以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨令正方体的棱长为2,
则, , , , ,
设,则, ,
所以 ,
所以,解得(舍去),即为的中点.
(2)【解析】
由(1)可得, ,
设是平面的法向量,
则.令,得.
易得平面的一个法向量为,
所以.
所以所求锐二面角的余弦值为.
点睛:空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
【题型】解答题
【结束】
22
已知椭圆的短轴长为2,且椭圆过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线过定点,且斜率为,若椭圆上存在两点关于直线对称, 为坐标原点,求的取值范围及面积的最大值.
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如图,在三棱锥中,已知,,平面平面,点分别是的中点,,连接.
(1)若,并异面直线与所成角的余弦值的大小;
(2)若二面角的余弦值的大小为,求的长.
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如图,长方体中,,,那么异面直线与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
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如图所示的多面体中,菱形,是矩形,⊥平面,,
.
(Ⅰ)异面直线与所成的角余弦值;
(Ⅱ)求证平面⊥平面;
(Ⅲ)在线段取一点,当二面角的大小为60°时,求.
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已知四棱锥中,底面为直角梯形,.,,为正三角形,且面面,异面直线与所成的角的余弦值为,为的中点.
(Ⅰ)求证:面;
(Ⅱ)求点到平面的距离;
(Ⅲ)求平面与平面相交所成的锐二面角的大小.
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在正方体中,是底面的中心,为的中点,那么 异面直线与所成角的余弦值等于( )
A. B. C. D.
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在正方体中,是底面的中心,为的中点,那么 异面直线与所成角的余弦值等于( )
A. B. C. D.
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如图,在正方体中,是底面的中心,为的中点,那么异面直线与所成角的余弦值等于( )
A. B. C. D.
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如图,在正方体中,是底面的中心,为的中点,那么异面直线与所成角的余弦值等于( )
A. B. C. D.
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