如图，在正方体
中， 
分别是棱
的中点， 
为棱
上一点，且异面直线
与
所成角的余弦值为
.
（1）证明： 为的中点；
（2）求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
，不妨令正方体的棱长为2，设
，利用
，解得
，即可证得；
（2）分别求得平面与平面的法向量
，利用
求解即可.
（1）证明：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨令正方体的棱长为2，
则
， 
， 
， 
， 
，
设，则
， 
，
所以
，
所以
，解得（
舍去），即为的中点.
（2）【解析】
由（1）可得
， 
，
设
是平面的法向量，
则
.令
，得
.
易得平面的一个法向量为
，
所以
.
所以所求锐二面角的余弦值为.
点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
【题型】解答题
【结束】
22
已知椭圆
的短轴长为2，且椭圆
过点
.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线
过定点
，且斜率为
，若椭圆上存在
两点关于直线对称， 
为坐标原点，求
的取值范围及
面积的最大值.
高二数学解答题困难题
中，
分别是
的中点，
．
∥平面
；
与平面
所成角的余弦值．
中，
分别是
的中点，
．
∥平面
；
与平面
所成角的余弦值．
中， 
平面
， 
， 
， 
是
是等腰三角形， 
的中点， 
上一点.
，证明： 
平面
；
中， 
平面
， 
， 
， 
， 
上一点， 
， 
为
的中点.
平面
；
与
所成角的余弦值.
中，
分别是
的中点，将
折起，使
.
平面
；
的余弦值.
分别是正方形
与
交于点
、
都垂直于平面
，
，
平面
；
平面
，试求
的值；
的余弦值．
和矩形
所在的平面互相垂直,
是线段
的中点。
∥平面
与
所成的角的余弦值。
平面
、
、
的中点，
．
平面
；
是线段
的中点，求二面角
的余弦值．