已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在处的切线方程;
(Ⅱ)设函数,求函数的单调区间;
(Ⅲ)若,在(e=2.71828…)上存在一点x0,使得成立,求a的取值范围.
高二数学解答题中等难度题
已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在处的切线方程;
(Ⅱ)设函数,求函数的单调区间;
【答案】(Ⅰ)x+y﹣2=0(Ⅱ)当a>﹣1时,h(x)在(0,a+1)上单调递减,在(a+1,+∞)上单调递增当a≤﹣1时,h(x)在(0,+∞)上单调递增
【解析】
(1)欲求在点x=1处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率;(2)先求出h(x)的导数,根据h′(x)>0求得的区间是单调增区间,h′(x)<0求得的区间是单调减区间,从而问题解决
(Ⅰ)当a=2时,f(x)=x﹣2lnx,f(1)=1,切点(1,1),
∴,∴k=f′(1)=1﹣2=﹣1,
∴曲线f(x)在点(1,1)处的切线方程为:y﹣1=﹣(x﹣1),即x+y﹣2=0.
(Ⅱ),定义域为(0,+∞),
①当a+1>0,即a>﹣1时,令h′(x)>0,
∵x>0,∴x>1+a
令h′(x)<0,∵x>0,∴0<x<1+a.
②当a+1≤0,即a≤﹣1时,h′(x)>0恒成立,
综上:当a>﹣1时,h(x)在(0,a+1)上单调递减,在(a+1,+∞)上单调递增.
当a≤﹣1时,h(x)在(0,+∞)上单调递增.
考点:1.利用导数研究曲线上某点切线方程;2.利用导数研究函数的单调性
【题型】解答题
【适用】较易
【标题】2015-2016学年河北省广平县一中高二上学期第四次月考理科数学试卷(带解析)
【关键字标签】
【结束】
如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点.
(1)若PA=PD,求证:平面PQB⊥平面PAD;
(2)若平面PAD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2,点M在线段PC上,且PM=3MC,求三棱锥P﹣QBM的体积.
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】
(1)由PA=PD,得到PQ⊥AD,又底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,得BQ⊥AD,利用线面垂直的判定定理得到AD⊥平面PQB利用面面垂直的判定定理得到平面PQB⊥平面PAD;(2)由平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PQ⊥AD,得PQ⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,得PQ⊥BC,得BC⊥平面PQB,即得到高,利用椎体体积公式求出
(1)∵PA=PD,
∴PQ⊥AD,
又∵底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,∴BQ⊥AD,PQ∩BQ=Q,
∴AD⊥平面PQB 又AD平面PAD,
∴平面PQB⊥平面PAD;
(2)∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PQ⊥AD,
∴PQ⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PQ⊥BC,
又BC⊥BQ,QB∩QP=Q,∴BC⊥平面PQB,
又PM=3MC, ∴VP﹣QBM=VM﹣PQB=
考点:1.面面垂直的判定;2.棱锥的体积
【题型】解答题
【适用】较易
【标题】2015-2016学年河北省广平县一中高二上学期第四次月考理科数学试卷(带解析)
【关键字标签】
【结束】
如图,ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE与平面ABCD所成角为60°.
(1)求证:AC⊥平面BDE;
(2)求二面角FBED的余弦值.
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】
(Ⅰ)因为DE⊥平面ABCD,所以DE⊥AC.因为ABCD是正方形,所以AC⊥BD,从而AC⊥平面BDE;(Ⅱ)建立空间直角坐标系D-xyz,分别求出平面BEF的法向量为和平面BDE的法向量,利用向量法能求出二面角的余弦值
(1)证明:因为DE⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以DE⊥AC. 因为ABCD是正方形,所以AC⊥BD.
又BD,DE相交且都在平面BDE内,从而AC⊥平面BDE.
(2)因为DA,DC,DE两两垂直,所以建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示.
因为DE⊥平面ABCD,所以BE与平面ABCD所成角就是∠DBE.已知BE与平面ABCD所成角为60°,所以∠DBE=60°,所以
由AD=3可知DE=3,AF=.
由A(3,0,0),F(3,0,),E(0,0,3),B(3,3,0),C(0,3,0),
得=(0,-3,),=(3,0,-2).设平面BEF的法向量为n=(x,y,z),
则即令z=,则n=(4,2,).
因为AC⊥平面BDE,所以为平面BDE的法向量m=(3,-3,0),
所以cos〈n,m〉==.
因为二面角为锐角,所以二面角FBED的余弦值为.
考点:1.用空间向量求平面间的夹角;2.直线与平面垂直的判定
【题型】解答题
【适用】较易
【标题】2015-2016学年河北省广平县一中高二上学期第四次月考理科数学试卷(带解析)
【关键字标签】
【结束】
已知椭圆(a>b>0)的离心率为,且过点.
(1)求椭圆方程;
(2)设不过原点O的直线l:y=kx+m(k≠0),与该椭圆交于P、Q两点,直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2,满足4k=k1+k2,试问:当k变化时,m2是否为定值?若是,求出此定值,并证明你的结论;若不是,请说明理由.
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已知函数.
当时,求曲线在处的切线方程;
讨论函数的单调性;
当时,求函数在区间的最小值.
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已知函数
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)当时,求函数的单调区间.
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已知函数,其中.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)当时,求函数的单调区间与极值.
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已知函数.
()当时,求曲线在点处切线的方程.
()求函数的单调区间.
()当时,恒成立,求的取值范围.
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已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)当时,求函数的单调区间.
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已知函数,其中.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)当时,求函数的单调区间与极值.
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已知函数
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)当时,求函数的单调区间.
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已知函数,其中.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)当时,求函数的单调区间与极值.
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已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在处的切线方程()
(Ⅱ)已知为函数的极值点,求函数的单调区间。
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