“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：...

“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知m+n=﹣2，mn=﹣4，则2（mn﹣3m）﹣3（2n﹣mn）的值为　　　　　 ．

七年级数学填空题中等难度题查看答案及解析

“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知m+n=﹣2，mn=﹣4，则2（mn﹣3m）﹣3（2n﹣mn）的值为　　　　　 ．

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“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知，试求多项式

七年级数学解答题中等难度题查看答案及解析

阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x=（4﹣2+1）x=3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）=（4﹣2+1）（a+b）=3（a+b）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用整体思想解决下列问题：

（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2

（2）已知x2﹣2y=4，求3x2﹣6y﹣21的值；

（3）已知a﹣2b=3，2b﹣c=﹣5，c﹣d=10，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值．

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我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛.

观察下列按照一定规律堆砌的钢管的横截面图：

用含n的式子表示第n个图的钢管总数.

（分析思路）

图形规律中暗含数字规律，我们可以采用分步的方法,从图形排列中找规律;把图形看成几个部分的组合,并保持结构,找到每一部分对应的数字规律,进而找到整个图形对应的数字规律。

如:要解决上面问题，我们不妨先从特例入手: (统一用S表示钢管总数)

（解决问题）

(1)如图，如果把每个图形按照它的行来分割观察，你发现了这些钢管的堆砌规律了吗?像n=1、n=2的情形那样,在所给横线上,请用数学算式表达你发现的规律.

S=1+2　　 S=2+3+4　　　 _____________　　 ______________

(2)其实，对同一个图形，我们的分析眼光可以是不同的。请你像(1)那样保持结构的、对每一个所给图形添加分割线，提供与(1)不同的分割方式;并在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律:

_______　　 ____________　　 _______________　　　　 _______________

(3)用含n的式子列式，并计算第n个图的钢管总数.

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仔细阅读材料，再尝试解决问题：

完全平方式 以及的值为非负数的特点在数学学习中有广泛的应用，比如探求的最大（小）值时，我们可以这样处理：

例如：①用配方法解题如下：

原式=+6x+9+1=

因为无论取什么数，都有的值为非负数，所以的最小值为0；此时 时，进而的最小值是0+1=1；所以当时，原多项式的最小值是1.

请根据上面的解题思路，探求：

(1)若(x+1)2+(y-2)2=0，则x=　　　　　 ，y=　　　　　 ..

(2)若x2+y2+6x－4y+13=0，求x，y的值；

(3)求的最小值

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（本题9分）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．

例如：①用配方法因式分【解析】
a2+6a+8

原式=a2+6a+9－1

=（a+3）2 –1

=（a+3－1）（a+3+1）

=（a+2）（a+4）

②若M=a2－2ab+2b2－2b+2，利用配方法求M的最小值：

a2－2ab+2b2－2b+2=a2－2ab+b2+b2－2b+1+1

=（a－b）2+（b－1）2 +1

∵（a－b）2≥0，（b－1）2 ≥0

∴当a=b=1时，M有最小值1

请根据上述材料解决下列问题：

（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a 2+4a+　　　　　 ．

（2）用配方法因式分解： a2－24a+143

（3）若M=a2+2a +1，求M的最小值．

（4）已知a2+b2+c2－ab－3b－4c+7=0，求a+b+c的值．

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阅读与理【解析】

（1）先阅读下面的解题过程：

分解因式：

【解析】
方法（1）原式

方法（2）原式

再请你参考上面一种解法，对多项式进行因式分解；

（2）阅读下面的解题过程：

已知：，试求与的值。

【解析】
由已知得：

因此得到：

所以只有当并且上式才能成立。

因而得： 并且

请你参考上面的解题方法解答下面的问题：

已知：，试求的值

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阅读理【解析】

在解形如3|x-2|=|x-2|+4这一类含有绝对值的方程时，我们可以根据绝对值的意义分x＜2和x≥2两种情况讨论：

①当x＜2时，原方程可化为-3（x-2）=-（x-2）+4，解得：x=0，符合x＜2

②当x≥2时，原方程可化为3（x-2）=（x-2）+4，解得：x=4，符合x≥2

∴原方程的解为：x=0，x=4．

解题回顾：本题中2为x-2的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了x＜2和x≥2两部分，所以分x＜2和x≥2两种情况讨论．

知识迁移：

（1）运用整体思想先求|x-3|的值，再去绝对值符号的方法解方程：|x-3|+8=3|x-3|；

知识应用：

（2）运用分类讨论先去绝对值符号的方法解类似的方程：|2-x|-3|x+1|=x-9．

（提示：本题中有两个零点，它们把数轴上的点所对应的数分成了几部分呢？）

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先仔细阅读材料，再尝试解决问题:通过对有理数的学习,我们知道，本学期学习了完全平方公式后,我们知道.所以完全平方式的值为非负数,这一性质在数学中有着广泛的应用.比如探求多项式的最大(小)值时,我们可以这样处理:

因为,所以.当时,取得最小值,最小值是-

请根据上面的解题思路,解答下列问题:

(1)求多项式的最小值是多少,并写出对应的的取值；

(2)求多项式的最小值.

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