十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个有趣的...

十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格；

（1）你发现顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是_______.

（2）正十二面体有个顶点，那它有______条棱；

（3）一个多面体的面数比顶点数大，且有条棱，则这多面体的顶点数是______；

（4）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有个顶点，每个顶点处都有条棱，设该多面体表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值.

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十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单的多面体模型，解答下列问题：

(1)根据上面的多面体模型，完成表格：

可以发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是_______________；

(2)若一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是______；

(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处有3条棱．设该多面体外表面三角形的个数为x，八边形的个数为y，求x＋y的值．

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十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

（1）根据上面多面体的模型，完成表格中的空格：

（2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是E=________；　

（3）一个多面体的面数比顶点数大8，棱数为30，则这个多面体的面数是多少？

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十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

图1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图2

（探索新知）如图1，（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格；

你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是　　　　　　　　　　　　　 　．

（2）根据以上关系式猜想是否存在一个多面体，它有16个面，50条棱，34个顶点？并写出理由。

（实际应用）如图2，足球一般有32块黑白皮子缝合而成，黑色的是正五边形，白色的是正六边形，如

果我们近似把足球看成一个多面体．

（1）设黑色的正五边形有x块，则白色的正六边形有（32﹣x）块，当把足球看成一个多面体时，它的棱数是　　　　　　　 　，它的顶点数是　　　　　　　　 　．

（2）求出黑皮和白皮各有多少块？

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正多面体的面数、棱数、顶点数之间存在着一个奇妙的关系，若用F，E，V分别表示正多面体的面数、棱数、顶点数，则有F+V-E=2，现有一个正多面体共有12条棱，6个顶点，则它的面数F等于（　　）

A．6　　　　 B．8　　　　　　 C．12　　　　 D．20

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观察下列多面体，并把下表补充完整.

观察上表中的结果，你能发现、、之间有什么关系吗？请写出关系式.

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观察下列多面体，并把下表补充完整.

观察上表中的结果，你能发现、、之间有什么关系吗？请写出关系式.

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著名的瑞士数学家欧拉曾指出：可以表示为四个整数平方之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为四个整数平方之和，即 ，这就是著名的欧拉恒等式，有人称这样的数为“不变心的数”．实际上，上述结论可减弱为：可以表示为两个整数平方之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为两个整数平方之和．

【动手一试】

试将改成两个整数平方之和的形式． ；

【阅读思考】

在数学思想中，有种解题技巧称之为“无中生有”．例如问题：将代数式改成两个平方之差的形式．【解析】
原式﹒

【解决问题】

请你灵活运用利用上述思想来解决“不变心的数”问题：将代数式改成两个整数平方之和的形式（其中a、b、c、d均为整数），并给出详细的推导过程﹒

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著名的瑞士数学家欧拉曾指出：可以表示为四个整数平方之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为四个整数平方之和，即 ，这就是著名的欧拉恒等式，有人称这样的数为“不变心的数”．实际上，上述结论可减弱为：可以表示为两个整数平方之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为两个整数平方之和．

【动手一试】

试将改成两个整数平方之和的形式． ；

【阅读思考】

在数学思想中，有种解题技巧称之为“无中生有”．例如问题：将代数式改成两个平方之差的形式．【解析】
原式﹒

【解决问题】

请你灵活运用利用上述思想来解决“不变心的数”问题：将代数式改成两个整数平方之和的形式（其中a、b、c、d均为整数），并给出详细的推导过程﹒

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在对第一章“丰富的图形世界”复习前，老师让学生整理正方体截面的形状并探究多面体（由若干个多边形所围成的几何体）的棱数、面数、顶点数之间的数量关系，如图是小颖用平面截正方体后剩余的多面体，请解答下列问题：

（1）根据上图完成下表：

（2）猜想：一个多面体的V（顶点数），F（面数），E（棱数）之间的数量关系是　　 　；

（3）计算：已知一个多面体有20个面、30条棱，那么这个多面体有　　 　个顶点．

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