试推导开普勒第三定律：某恒星的所有行星轨道半径的立方与周期的平方的比值是一个衡量，即R5/...

试推导开普勒第三定律：某恒星的所有行星轨道半径的立方与周期的平方的比值是一个衡量，即R⁵/T²=k，其中R为轨道半径，T为公转周期，并证明k是由中心天体的质量决定。

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所有行星绕太阳运转其轨道半径的立方和运转周期的平方的比值即=k，那么k的大小决定于（　　 ）

A. 只与行星质量有关

B. 只与恒星质量有关

C. 与行星及恒星的质量都有关

D. 与恒星质量及行星的速率有关

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人类对未知事物的好奇和科学家们的不懈努力，使人类对宇宙的认识越来越丰富。

(1)开普勒坚信哥白尼的“日心说”，在研究了导师第谷在20余年中坚持对天体进行系统观测得到的大量精确资料后，提出了开普勒三定律，为人们解决行星运动问题提供了依据，也为牛顿发现万有引力定律提供了基础。

开普勒认为：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。行星轨道半长轴的三次方与其公转周期的二次方的比值是一个常量。实际上行星的轨道与圆十分接近，在中学阶段的研究中我们按圆轨道处理。请你以地球绕太阳公转为例，根据万有引力定律和牛顿运动定律推导出此常量的表达式。

(2)天文观测发现，在银河系中，由两颗相距较近、仅在彼此间引力作用下运行的恒星组成的双星系统很普遍。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动，周期为T，两颗恒星之间的距离为d，引力常量为G。求此双星系统的总质量。

(3)北京时间2019年4月10日21时，由全球200多位科学家合作得到的人类首张黑洞照片面世，引起众多天文爱好者的兴趣。

同学们在查阅相关资料后知道：①黑洞具有非常强的引力，即使以3×108m/s的速度传播的光也不能从它的表面逃逸出去。②地球的逃逸速度是第一宇宙速度的倍，这个关系对于其他天体也是正确的。③地球质量me =6.0×1024kg，引力常量G= 6.67×10-11N• m 2/ kg 2。

请你根据以上信息，利用高中学过的知识，通过计算求出：假如地球变为黑洞，在质量不变的情况下，地球半径的最大值（结果保留一位有效数字）。（注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明）

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行星绕恒星的运动轨道如果是圆形，那么所有行星运行周期T的平方与轨道半径r的三次方的比为常数，设T2/r3=K,则常数K的大小

A．只与恒星的质量有关

B．与恒星的质量及行星的质量有关

C．只与行星的质量有关

D．与恒星的质量及行星的速度有关

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开普勒第三定律指出：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。该定律对一切具有中心天体的引力系统都成立。如图，嫦娥三号探月卫星在半径为r的圆形轨道Ⅰ上绕月球运行，周期为T。月球的半径为R，引力常量为G。某时刻嫦娥三号卫星在A点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，在月球表面的B点着陆。A、O、B三点在一条直线上。求：

（1）月球的密度；

（2）在轨道Ⅱ上运行的时间。

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火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知：

A．太阳位于木星运行轨道的中心

B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等

C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方

D．相同时间内,火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积

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开普勒发现了行星运动的三大定律，分别是轨道定律、面积定律和周期定，这三大定律最 终使他赢得了“天空立法者”的美名，开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积 开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等即：

(1)若将行星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，圆周运动半径为 r，行星质量为 m 太阳质量为 M，如图所示，请你结合开普勒定律、圆周运动、牛顿定律等知识，证明太阳之间的引力与它们之间的质量的乘积成正比，距离平方成反比即：F引 

(2)如图所示，人造地球卫星在 I 轨道做匀速圆周运动时，卫星距地面高度为 h=3R，R 为地球的半径， 卫星质量为 m，地球表面的重力加速度为 g，椭圆轨道的长轴 PQ=10R。

①a．求卫星在 I 轨道运动时的速度大小；

b．根据开普勒第三定律，求卫星在Ⅱ轨道运动时的周期大小；

②在牛顿力学体系中，当两个质量分别为 m1、m2 的质点相距为 r 时具有的势能，称为引力势能，其大小为 EP= (规定无穷远处势能为零)卫星在 I 轨道的 P 点点火加速，变轨到Ⅱ轨道

a．根据开普勒第二定律，求卫星在椭圆轨道Ⅱ运动时，在近地点 P 与在远地点 Q 的速率之比

b．卫星在 I 轨道的 P 点，变轨到Ⅱ轨道，求则至少需对卫星做多少功(不考虑卫星质量的变化和所受 的阻力)。

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（2011·安徽高考·T22）（1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即，是一个对所有行星都相同的常量。将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量的表达式。已知引力常量为G，太阳的质量为。

（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立。经测定月地距离为m，月球绕地球运动的周期为S，试计算地球的质量。（，结果保留一位有效数字）

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(12分)⑴开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即＝k，k是一个对所有行星都相同的常量，将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式；(已知引力常量为G，太阳的质量为。)

⑵开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立，经测定月地距离为3.84×10⁸m，月球绕地球运动的周期为2.36×10⁶s，试计算地球的质量。(引力常量为G＝6.67×10^－11N·m²/kg²，结果保留一位有效数字。)

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