已知椭圆的离心率是．（1）证明：a=2b；（2）设点P为椭圆上的动点，点，若的最大值是，求...

高二数学解答题中等难度题查看答案及解析

已知椭圆的左，右两个顶点分别为、．曲线是以、两点为顶点，离心率为的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点．

（1）求曲线的方程；

（2）设、两点的横坐标分别为，，证明：.

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平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，离心率为，过点且垂直于长轴的弦长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点分别是椭圆的左、右顶点，若过点的直线与椭圆相交于不同两点．

①求证：；

②求面积的最大值．

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设点是椭圆上一动点，椭圆的长轴长为，离心率为.

(1)求椭圆的方程；

（2）求点到直线距离的最大值.

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设点是椭圆上一动点，椭圆的长轴长为，离心率为.

(1)求椭圆的方程；

（2）求点到直线距离的最大值.

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已知椭圆：的离心率为，点，分别为椭圆的左右顶点，点在上，且面积的最大值为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设为的左焦点，点在直线上，过作的垂线交椭圆于，两点.证明：直线平分线段.

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已知椭圆右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的弦，设中点分别为.

（1）求椭圆的方程；

(2) 证明：直线必过定点，并求出此定点坐标；

(3) 若弦的斜率均存在，求面积的最大值．

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已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，为椭圆上的任意一点（不含长轴端点），且△面积的最大值为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线R交椭圆于、两点，试探究：点与以线段为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．

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如图，椭圆上的点到左焦点的距离最大值是，已知点在椭圆上，其中为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）过原点且斜率为的直线交椭圆于、两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交椭圆于另一点．证明：对任意的，点恒在以线段为直径的圆内．

【答案】（1）．（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）根据椭圆上的点到左焦点为F的最大距离是，M（1，e）在椭圆上，建立方程组，即可求椭圆的方程；
（2）设出直线QN的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量的数量积，即可得到结论．

（1）由题可知解得∴椭圆的方程是．

（2）令， ，则， ，∴，

直线的方程为，代入整理得，

∴，∴，

∴， ，

∴，

∵， ， ，

∴对任意，点恒在以线段为直径的圆内．

点睛：处理直线与椭圆的位置关系问题时，一般有两个思路：

（1）设出交点坐标，通过直线与椭圆联立，利用韦达定理得到两根的等量关系，这种方法称为“设而不求”，后续运算，只需将坐标利用韦达定理表示即可；

（2）相对于设而不求的另一种解法是设而要求，通过其中一个根已知，表示出另一个根即可.

【题型】解答题
【结束】
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已知圆： 和点，动圆经过点且与圆相切，圆心的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）点是曲线与轴正半轴的交点，点， 在曲线上，若直线， 的斜率分别是， ，满足，求面积的最大值．

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已知双曲线的左、右两个顶点分别为．曲线是以两点为短轴端点，离心率为的椭圆．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点．

（1）设点的横坐标分别为，证明：；

（2）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的最大值．

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