高二数学解答题中等难度题
(2013•运城校级三模)如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC=2,EA⊥EB.
(1)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值;
(2)线段EA上是否存在点F,使CE∥平面FBD?若存在,求出;若不存在,请说明理由.
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(本小题满分12分)
如图,正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直,⊿ABE是等腰直角三角形,AB=AE,FA=FE,°
(1)求证:EF平面BCE;
(2)求二面角的大小。
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(13分)如图,正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直,
是等腰直角三角形,AB=AE,FA=FE,∠AEF=45°
(1)求证:EF⊥平面BCE;
(2)设线段CD的中点为P,在直线AE上是否存在一点M,使得PM//平面BCE?若存在,请指出点M的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由。
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四棱锥S-ABCD的底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2BC=2CD=2,△SAD为正三角形.
(Ⅰ)点M为棱AB上一点,若BC∥平面SDM,AM=λAB,求实数λ的值;
(Ⅱ)若BC⊥SD,求二面角A-SB-C的余弦值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)由线面平行的性质定理可得,据此可知四边形BCDM为平行四边形,据此可得.
(Ⅱ)由几何关系,在平面内过点作直线于点,以点E为坐标原点,EA方向为X轴,EC方向为Y轴,ES方向为Z轴建立空间坐标系,据此可得平面的一个法向量,平面的一个法向量,据此计算可得二面角余弦值为.
(Ⅰ)因为平面SDM, 平面ABCD,平面SDM 平面ABCD=DM,所以,
因为,所以四边形BCDM为平行四边形,又,所以M为AB的中点.
因为 .
(Ⅱ)因为 , ,所以平面,又因为平面,
所以平面平面,平面平面,
在平面内过点作直线于点,则平面,
在和中,因为,所以,
又由题知,所以所以,
以下建系求解.以点E为坐标原点,EA方向为X轴,EC方向为Y轴,ES方向为Z轴建立如图所示空间坐标系,
则,,,,,
,,,,
设平面的法向量,则,所,
令得为平面的一个法向量,
同理得为平面的一个法向量,
,因为二面角为钝角.
所以二面角余弦值为.
【点睛】
本题考查了立体几何中的判断定理和二面角的求解问题,意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力;解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化,通过严密推理,明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题,往往可以利用空间向量法,通过求解平面的法向量,利用向量的夹角公式求解.
【题型】解答题
【结束】
19
小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作,该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案:底薪100元,每派送一单奖励1元;乙方案:底薪140元,每日前55单没有奖励,超过55单的部分每单奖励12元.
(Ⅰ)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y(单位:元)与送货单数n的函数关系式;
(Ⅱ)根据该公司所有派送员100天的派送记录,发现派送员的日平均派送单数满足以下条件:在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图,其中当某天的派送量指标在(,](n=1,2,3,4,5)时,日平均派送量为50+2n单.若将频率视为概率,回答下列问题:
①根据以上数据,设每名派送员的日薪为X(单位:元),试分别求出甲、乙两种方案的日薪X的分布列,数学期望及方差;
②结合①中的数据,根据统计学的思想,帮助小明分析,他选择哪种薪酬方案比较合适,并说明你的理由。
(参考数据:0.62=0.36,1.42=1.9 6,2.6 2=6.76,3.42=1 1.56,3.62=12.96,4.62=21.16,15.62=243.36,20.42=416.16,44.42=1971.36)
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