设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，2是an+2 和an的...

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设数列{a_n}的各项都为正数，其前n项和为S_n，已知对任意n∈N^*，2

是a_n+2 和a_n的等比中项．
（Ⅰ）证明数列{a_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明

+

+…+

＜1；
（Ⅲ）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m 的一切正整数n，不等式2S_n-4200＞

恒成立，求这样的正整数m共有多少个？

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（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m的一切正整数n，不等式恒成立，试问：这样的正整数m共有多少个．
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（Ⅱ）证明++…+＜2；
（Ⅲ）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m的一切正整数n，不等式S_n-1005＞恒成立，求这样的正整数m共有多少个？
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已知各项为正数的数列{a_n}满足a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=（4n³-n），（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）记数列{na_n}的前n项和为T_n，试用数学归纳法证明对任意n∈N^*，都有T_n≤nS_n．
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已知各项为正数的数列中，，对任意的，成等比数列，公比为；成等差数列，公差为，且．
（1）求的值；
（2）设，证明：数列为等差数列；
（3）求数列的前项和．

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已知数列的前项和，对任意正整数，总存在正数使得，恒成立：数列的前项和，且对任意正整数，恒成立.
（1）求常数的值；
（2）证明数列为等差数列；
（3）若，记，是否存在正整数，使得对任意正整数，恒成立，若存在，求正整数的最小值，若不存在，请说明理由.

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数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意n∈N^*，总有a_n，S_n，a_n²成等差数列，则a₂₀₀₉=（）
A．1
B．4018
C．2010
D．2009
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（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，且，求证：对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828…）和任意正整数n，总有T_n＜2．
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