如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N，那么称该数列为...

如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N，那么称该数列为N型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为______．

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若有穷数列（是正整数），满足即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”。例如，数列与数列都是“对称数列”．

（1）已知数列是项数为9的对称数列，且,,,,成等差数列， ， ,试求， ， ， ，并求前9项和.

（2）若是项数为的对称数列，且构成首项为31，公差为的等差数列，数列前项和为，则当为何值时， 取到最大值？最大值为多少？

（3）设是项的“对称数列”，其中是首项为1，公比为2的等比数列．求前项的和 ．

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对于项数为m的有穷数列，记，即为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.

（I）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有符合条件的数列；

（II）设m=100，若，是的控制数列，求的值；

（III）设是的控制数列，满足（C为常数，）.

求证：.

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若有穷数列（是正整数），满足即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”。

（1）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项

（2）已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？

（3）对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前2008项和

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设等比数列的前项和为；数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）①试确定的值，使得数列为等差数列；

②在①结论下，若对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列,设是数列的前项和，试求满足的所有正整数.

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