已知函数在（1，+∞）上为增函数，函数g（x）=lnx-mx（x＞0）在（1，+∞）上为减...

高二数学解答题中等难度题查看答案及解析

已知函数在上为增函数，函数在上为减函数.

（1）分别求出函数和的导函数；

（2）求实数的值；

（3）求证：当时,

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已知函数.

（1）若，，，求的值；

（2）若动直线与函数和函数的图象分别交于P，Q两点，求线段PQ长度的最大值，并求出此时t的值.

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已知曲线在点处的切线为，其中.

（Ⅰ）求直线的方程；

（Ⅱ）求证：直线和曲线一定有两个不同的公共点.

【答案】(Ⅰ) 直线 ;(Ⅱ)见解析.

【解析】试题分析：（I）求出函数的导数，分别求出，，即可求得直线的方程；（Ⅱ）联立直线与曲线的方程，令，利用导数研究函数的单调性，即可判断函数零点的个数，从而可证直线和曲线一定有两个不同的公共点.

（I）因为

所以直线的斜率

所以直线的方程为

化简得到

(Ⅱ)把曲线和直线的方程联立得

所以

所以

令

所以，

令，得到得，

当时，的变化情况如下表

因为时，，而

（或者说：时，），

所以在上有一个零点

而时，，所以在上只有一个零点

又在上没有零点

所以只有两个不同的零点，即直线和曲线有两个不同的公共点.

【题型】解答题
【结束】
18

已知函数，其中常数.

（Ⅰ）若函数为单调函数，求实数的最大值；

（Ⅱ）如果函数只有一个零点，求实数的取值范围.

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已知曲线在点处的切线为，其中.

（Ⅰ）求直线的方程；

（Ⅱ）求证：直线和曲线一定有两个不同的公共点.

【答案】(Ⅰ) 直线 ;(Ⅱ)见解析.

【解析】试题分析：（I）求出函数的导数，分别求出，，即可求得直线的方程；（Ⅱ）联立直线与曲线的方程，令，利用导数研究函数的单调性，即可判断函数零点的个数，从而可证直线和曲线一定有两个不同的公共点.

（I）因为

所以直线的斜率

所以直线的方程为

化简得到

(Ⅱ)把曲线和直线的方程联立得

所以

所以

令

所以，

令，得到得，

当时，的变化情况如下表

因为时，，而

（或者说：时，），

所以在上有一个零点

而时，，所以在上只有一个零点

又在上没有零点

所以只有两个不同的零点，即直线和曲线有两个不同的公共点.

【题型】解答题
【结束】
18

已知函数，其中常数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）如果函数没有零点，求实数的取值范围.

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已知命题直线与圆有公共点；

命题函数在区间上单调递减；

（1）分别求出两个命题中的取值范围，并回答是的什么条件；

（2）若真假，求实数的取值区间．

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已知二次函数（，为常数，且）满足条件：且方程有等根．

（）求的表达式．

（）是否存在实数，使的定义域和值域分别是和，如果存在，求出，的值；如果不存在，说明理由．

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已知函数，，其中．

（1）若是函数的极值点，求实数的值；

（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，求实数的取值范围．

【解析】（1）根据建立关于a的方程求a即可.

（2）本题要分别求出f(x)在[1,e]上的最小值，g(x)在[1，e]上的最大值，然后

,解关于a的不等式即可.

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若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”．已知，为自然对数的底数）．

（1）求的极值；

（2）函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

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