求证：双曲线xy=k（k≠0）上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为常数．并说明你的...

高二数学解答题中等难度题查看答案及解析

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（本小题满分12分）

设函数，曲线在点处的切线方程．

（1）求的解析式，并判断函数的图像是否为中心对称图形？若是，请求其对称中心；否则说明理由。

（2）证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值．

(3) 将函数的图象向左平移一个单位后与抛物线（为非0常数）的图象有几个交点？(说明理由)

高二数学解答题简单题查看答案及解析

设函数，曲线在点处的切线方程为．

（Ⅰ） 求的解析式；

（Ⅱ） 证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值．

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）证明见解析

【解析】

（Ⅰ） 由题意点即在曲线，又在切线上，可得，所以曲线在点处切线的斜率为3，对函数求导，列出关于的方程组，从而求出函数的解析式；

（Ⅱ）先设P（x0，y0）为曲线上任一点，得曲线在点P（x0，y0）处的切线方程，求出切线方程与直线和直线的交点坐标，从而得到点P（x0，y0）处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值为4

（Ⅰ）方程3x－y－4＝0可化为y＝3x－4，

当x＝1时，y＝．又f′（x）＝a＋，于是解得

故　　

（Ⅱ） 证明：设P（x0，y0）为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为y－y0＝（1＋）（x－x0），即y－（x0－）＝（1＋）（x－x0）．

令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0交点坐标为．

令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为（2x0,2x0）．

所以点P（x0，y0）处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为

S＝|2x0|＝4．

故曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，

且此定值为4．　

考点：导数的应用，三角形面积的求法．

【易错点睛】（1）本题利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点,一般的“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标求斜率．对本题一定要注意点切线上，又在曲线上，联立方程组，求出的值，得到函数的解析式；（2）对于未告诉切点坐标的问题，应先设出切点坐标，根据题意，求出切点坐标，写出点斜式方程，注意如果只是求切线方程的，最后一定化成一般式．

【题型】解答题
【适用】一般
【标题】【百强校】2015-2016学年甘肃省兰州一中高二上期末文科数学试卷（带解析）
【关键字标签】
【结束】

如图，已知四边形内接于抛物线，点，平行于轴，平行于该抛物线在点处的切线，．

（Ⅰ）求直线的方程；

（Ⅱ）求四边形的面积．

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设函数，曲线在点(，)处的切线方程为.

（1）求的解析式；

（2）证明：曲线任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值.

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设函数，曲线在点处的切线方程为.

（1）求的解析式；

（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值.

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设函数，曲线在点处的切线方程为.

（1）求的解析式；

（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.

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设函数（,b∈Z），曲线在点（2，）处的切线方程为=3.

（1）求的解析式；

（2）证明：曲线=上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值.

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（本题满分12分）

设函数,曲线在点处的切线方程为.

(1)求的解析式;(2)证明:曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值,并求此定值.

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本题满分16分）

设函数曲线在点处的切线方程为 .

(1)求 的解析式；

(2)证明：曲线 上任一点处的切线与直线 及直线 所围成的三角形的面积是一个定值,并求此定值.

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