设函数,曲线在点(,)处的切线方程为.
(1)求的解析式;
(2)证明:曲线任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
高二数学解答题中等难度题
设函数,曲线在点处的切线方程为.
(Ⅰ) 求的解析式;
(Ⅱ) 证明:曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)证明见解析
【解析】
(Ⅰ) 由题意点即在曲线,又在切线上,可得,所以曲线在点处切线的斜率为3,对函数求导,列出关于的方程组,从而求出函数的解析式;
(Ⅱ)先设P(x0,y0)为曲线上任一点,得曲线在点P(x0,y0)处的切线方程,求出切线方程与直线和直线的交点坐标,从而得到点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值为4
(Ⅰ)方程3x-y-4=0可化为y=3x-4,
当x=1时,y=.又f′(x)=a+,于是解得
故
(Ⅱ) 证明:设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y′=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(1+)(x-x0),即y-(x0-)=(1+)(x-x0).
令x=0,得y=-,从而得切线与直线x=0交点坐标为.
令y=x,得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).
所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为
S=|2x0|=4.
故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为定值,
且此定值为4.
考点:导数的应用,三角形面积的求法.
【易错点睛】(1)本题利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程,注意这个点的切点,一般的“在”曲线上一点处的切线问题,先对函数求导,代入点的横坐标求斜率.对本题一定要注意点切线上,又在曲线上,联立方程组,求出的值,得到函数的解析式;(2)对于未告诉切点坐标的问题,应先设出切点坐标,根据题意,求出切点坐标,写出点斜式方程,注意如果只是求切线方程的,最后一定化成一般式.
【题型】解答题
【适用】一般
【标题】【百强校】2015-2016学年甘肃省兰州一中高二上期末文科数学试卷(带解析)
【关键字标签】
【结束】
如图,已知四边形内接于抛物线,点,平行于轴,平行于该抛物线在点处的切线,.
(Ⅰ)求直线的方程;
(Ⅱ)求四边形的面积.
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设函数,曲线在点(,)处的切线方程为.
(1)求的解析式;
(2)证明:曲线任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
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设函数,曲线在点处的切线方程为.
(1)求的解析式;
(2)证明:曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
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设函数,曲线在点处的切线方程为.
(1)求的解析式;
(2)证明:曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.
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设函数(,b∈Z),曲线在点(2,)处的切线方程为=3.
(1)求的解析式;
(2)证明:曲线=上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值,并求出此定值.
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(本题满分12分)
设函数,曲线在点处的切线方程为.
(1)求的解析式;(2)证明:曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
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(本小题满分14分)
设函数Z),曲线在点处的切线方程为。
(1)求的解析式;
(2)证明:函数的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心;
(3)证明:曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值,并求出此定值。
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本题满分16分)
设函数曲线在点处的切线方程为 .
(1)求 的解析式;
(2)证明:曲线 上任一点处的切线与直线 及直线 所围成的三角形的面积是一个定值,并求此定值.
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(本小题满分12分)
设函数,曲线在点处的切线方程.
(1)求的解析式,并判断函数的图像是否为中心对称图形?若是,请求其对称中心;否则说明理由。
(2)证明:曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值,并求出此定值.
(3) 将函数的图象向左平移一个单位后与抛物线(为非0常数)的图象有几个交点?(说明理由)
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(12分)
设函数处的切线方程为
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)证明:曲线上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
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