如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的左右焦点分别为，，椭圆右顶点为，点在圆：上.（1）求椭圆...

在平面直角坐标系中，椭圆： 的左、右焦点分别为，两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形，且点在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图所示，过椭圆的左焦点作直线（斜率存在且不为0）交椭圆于两点，过右焦点作直线交椭圆于两点，且，直线交轴于点，动点（异于）在椭圆上运动.

①证明： 为常数；

②当时，利用上述结论求面积的取值范围.

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已知椭圆的左右焦点分别为与，椭圆上的点到右焦点的最短距离为，为坐标平面上的一点，过点作直线和分别与椭圆交于点，和，，如图所示.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点在双曲线（顶点除外）上运动，证明为定值，并求出此定值.

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（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左，右顶点分别为，若直线上有且仅有一个点，使得．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设圆的圆心在x轴上方，且圆经过椭圆两焦点．点，分别为椭圆和圆上的一动点．若时, 取得最大值为，求实数的值．

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如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左，右顶点分别为·若直线3x+4y+5=0上有且仅有一个点M，便得.

（1）求椭圆C的标准方程

（2）设圆T的圆心T(0,t)在x轴上方，且圆T经过椭圆C两焦点，点P，Q分别为椭圆C和圆T上的一动点，若时，PQ取得最大值为，求实数t的值.

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在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，分别为其左右焦点，过的直线与椭圆交于两点，直线的斜率为-1.

(I)若直线与椭圆的右准线交于点且，求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)若，求的取值范围.

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在平面直角坐标系中，圆交轴于点，交轴于点.以为顶点，分别为左、右焦点的椭圆，恰好经过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设经过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.

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如图，为椭圆的左右焦点，是椭圆的两个顶点，，，若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”.直线与椭圆交于两点，两点的“椭点”分别为，已知以为直径的圆经过坐标原点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）试探讨的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.

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