在数列中，.从数列中选出项并按原顺序组成的新数列记为，并称为数列的项子列.例如数列、、、为...

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在数列中，.从数列中选出项并按原顺序组成的新数列记为，并称为数列的项子列.例如数列、、、为的一个项子列.

（1）试写出数列的一个项子列，并使其为等差数列；

（2）如果为数列的一个项子列，且为等差数列，证明：的公差满足；

（3）如果为数列的一个项子列，且为等比数列，证明：

.

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少年，再来一题如何？

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（本小题满分12分）对于数列，把作为新数列的第一项，把或作为新数列的第项，数列称为数列的一个生成数列 .例如, 数列的一个生成数列是.已知数列为数列的生成数列，为数列的前项和.
（1）写出的所有可能值；
（2）若生成数列满足，求数列的通项公式.

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定义域为，且对任意实数、都满足不等式的所有函数组成的集合记为，例如，试写出一个函数，使得数列极限，，则________

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从数列中抽出一项，依原来的顺序组成的新叫数列的一个子列.
（1）写出数列的一个是等比数列的子列；
（2）若是无穷等比数列，首项，公比且，则数列是否存在一个子列，为无穷等差数列？若存在，写出该子列的通项公式；若不存在，证明你的结论.

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古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：
他们研究过图中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数，由以上规律，则这些三角形数从小到大形成一个数列，那么的值为（　　）
A. 45　　 B. 55　　 C. 65　　 D. 66

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按如图所示的程序框图操作：
（Ⅰ）写出输出的数所组成的数集．若将输出的数按照输出的顺序从前往后依次排列，则得到数列{a_n}，请写出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）如何变更A框内的赋值语句，使得根据这个程序框图所输出的数恰好是数列{2n}的前7项？
（Ⅲ）如何变更B框内的赋值语句，使得根据这个程序框图所输出的数恰好是数列{3n-2}的前7项？

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按如图所示的程序框图操作：
（1）写出输出的数所组成的数集．若将输出的数按照输出的顺序从前往后依次排列，则得到数列{a_n}，请写出数列{a_n}的通项公式；
（2）如何变更A框内的赋值语句，使得根据这个程序框图所输出的数恰好是数列{3n}的前8项？
（3）如何变更B框内的赋值语句，使得根据这个程序框图所输出的数恰好是数列{4n-3}的前8项？

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已知一列非零向量满足：，.
（1）写出数列的通项公式；
（2）求出向量与的夹角，并将中所有与平行的向量取出来，按原来的顺序排成一列，组成新的数列，，为坐标原点，求点列的坐标；
（3）令（），求的极限点位置.

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已知数列是等差数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，，第项，按原来的顺序组成一个新数列，求.

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把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列．
（1）该数列共有多少项？
（2）这个数列的第96项是多少？
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把数列的各项按顺序排列成如下的三角形状，
记表示第行的第个数，例如 = ，若=，则（　　）
A. 36　　 B. 37　　 C. 38　　 D. 45

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