已知函数是偶函数,是奇函数,且.
(1)求的解析式;
(2)判断在上的单调性,并用定义证明;
(3)解不等式.
高一数学解答题中等难度题
已知函数.
(1)判断并证明函数的奇偶性;
(2)判断当时函数的单调性,并用定义证明;
(3)若定义域为,解不等式.
【答案】(1)奇函数(2)增函数(3)
【解析】试题分析:(1)判断与证明函数的奇偶性,首先要确定函数的定义域是否关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系,如果对定义域上的任意x,都满足f(-x)=f(x)就是偶函数,如果f(-x)=-f(x)就是奇函数,否则是非奇非偶函数。(2)利函数单调性定义证明单调性,按假设,作差,化简,判断,下结论五个步骤。(3)由(1)(2)奇函数在(-1,1)为单调函数,
原不等式变形为f(2x-1)<-f(x),即f(2x-1)<f(-x),再由函数的单调性及定义(-1,1)求解得x范围。
(1)函数为奇函数.证明如下:
定义域为
又
为奇函数
(2)函数在(-1,1)为单调函数.证明如下:
任取,则
,
即
故在(-1,1)上为增函数
(3)由(1)、(2)可得
则
解得:
所以,原不等式的解集为
【点睛】
(1)奇偶性:判断与证明函数的奇偶性,首先要确定函数的定义域是否关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系,如果对定义域上的任意x,都满足f(-x)=f(x)就是偶函数,如果f(-x)=-f(x)就是奇函数,否则是非奇非偶函数。
(2)单调性:利函数单调性定义证明单调性,按假设,作差,化简,定号,下结论五个步骤。
【题型】解答题
【结束】
22
已知函数.
(1)若的定义域和值域均是,求实数的值;
(2)若在区间上是减函数,且对任意的,都有,求实数的取值范围;
(3)若,且对任意的,都存在,使得成立,求实数的取值范围.
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已知函数.
(1)判断并证明函数的奇偶性;
(2)判断当时函数的单调性,并用定义证明;
(3)若定义域为,解不等式.
【答案】(1)奇函数(2)增函数(3)
【解析】试题分析:(1)判断与证明函数的奇偶性,首先要确定函数的定义域是否关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系,如果对定义域上的任意x,都满足f(-x)=f(x)就是偶函数,如果f(-x)=-f(x)就是奇函数,否则是非奇非偶函数。(2)利函数单调性定义证明单调性,按假设,作差,化简,判断,下结论五个步骤。(3)由(1)(2)奇函数在(-1,1)为单调函数,
原不等式变形为f(2x-1)<-f(x),即f(2x-1)<f(-x),再由函数的单调性及定义(-1,1)求解得x范围。
(1)函数为奇函数.证明如下:
定义域为
又
为奇函数
(2)函数在(-1,1)为单调函数.证明如下:
任取,则
,
即
故在(-1,1)上为增函数
(3)由(1)、(2)可得
则
解得:
所以,原不等式的解集为
【点睛】
(1)奇偶性:判断与证明函数的奇偶性,首先要确定函数的定义域是否关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系,如果对定义域上的任意x,都满足f(-x)=f(x)就是偶函数,如果f(-x)=-f(x)就是奇函数,否则是非奇非偶函数。
(2)单调性:利函数单调性定义证明单调性,按假设,作差,化简,定号,下结论五个步骤。
【题型】解答题
【结束】
22
已知函数.
(1)若的定义域和值域均是,求实数的值;
(2)若在区间上是减函数,且对任意的,都有,求实数的取值范围;
(3)若,且对任意的,都存在,使得成立,求实数的取值范围.
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已知函数是定义在 上的奇函数,且,
(1)确定函数的解析式;
(2)判断函数的单调性并用定义法证明;
(3)解不等式:
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已知定义在上的函数是奇函数,且.
(1) 求函数的解析式;
(2) 判断函数的单调性,并用定义证明;
(3)解不等式:.
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已知函数是定义在上是奇函数,且.
(1)求函数的解析式;
(2)判断函数的单调性,并用定义证明;
(3)解关于的不等式.
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已知函数是定义在上的奇函数,其中且
(1)求函数的解析式
(2)判断函数在区间上的单调性,并用单调性定义证明你的结论
(3)解关于的不等式.
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已知函数是定义在上的奇函数,且.
(1)求函数的解析式;
(2)判断函数在上的单调性,并用定义证明;
(3)解关于的不等式,.
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已知函数(常数)是定义在上的奇函数,且.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)判断并用定义证明在上的单调性;
(Ⅲ)解关于的不等式.
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(12分)已知函数是定义在(–1,1)上的奇函数,且.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在(–1,1)上的单调性并用定义证明;
(3)解关于x的不等式
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(本题满分12分)
已知函数是定义在(–1,1)上的奇函数,且,
①求函数f(x)的解析式;
②判断函数f(x)在(–1,1)上的单调性并用定义证明;
③解关于x的不等式.
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