已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)证明对一切,都有成立.
高三数学解答题中等难度题
已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)证明当时,关于的不等式恒成立;
(3)若正实数满足,证明.
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已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)证明当时,关于的不等式恒成立;
(Ⅲ)若正实数满足,证明.
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已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)证明:当时,关于的不等式恒成立;
(3)若正实数满足,证明.
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已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)证明当时,关于的不等式恒成立;
(Ⅲ)若正实数满足,证明.
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已知函数,.
(1)求函数的单调区间;
(2)对一切,恒成立,求实数的取值范围;
(3)证明:对一切,都有成立.
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已知函数.
(1)设,试讨论函数的单调区间;
(2)若不等式在区间内恒成立,求出的取值范围,并证明不等式.
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已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)设,求在区间上的最大值;
(3)证明:对,不等式成立.(为自然对数的底数)
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(本小题满分14分)已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)设,求在区间上的最大值;
(Ⅲ)证明:对,不等式成立.
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已知.
(1)求的单调区间;
(2)证明:当时,恒成立;
(3)任取两个不相等的正数,且,若存在使成立,证明:.
【解析】(1)g(x)=lnx+,= (1’)
当k0时,>0,所以函数g(x)的增区间为(0,+),无减区间;
当k>0时,>0,得x>k;<0,得0<x<k∴增区间(k,+)减区间为(0,k)(3’)
(2)设h(x)=xlnx-2x+e(x1)令= lnx-1=0得x=e, 当x变化时,h(x),的变化情况如表
x | 1 | (1,e) | e | (e,+) |
- | 0 | + | ||
h(x) | e-2 | ↘ | 0 | ↗ |
所以h(x)0, ∴f(x)2x-e (5’)
设G(x)=lnx-(x1) ==0,当且仅当x=1时,=0所以G(x) 为减函数, 所以G(x) G(1)=0, 所以lnx-0所以xlnx(x1)成立,所以f(x) ,综上,当x1时, 2x-ef(x)恒成立.
(3) ∵=lnx+1∴lnx0+1==∴lnx0=-1 ∴lnx0 –lnx=-1–lnx===(10’) 设H(t)=lnt+1-t(0<t<1), ==>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函数,并且H(t)在t=1处有意义, 所以H(t) <H(1)=0∵∴=
∴lnx0 –lnx>0, ∴x0 >x
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已知函数,且在时函数取得极值.
(1)求的单调增区间;
(2)若,
(Ⅰ)证明:当时,的图象恒在的上方;
(Ⅱ)证明不等式恒成立.
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