对于数轴上的点P，Q，给出如下定义：若点P到点Q的距离为d(d≥0)，则称d为点P到点Q的...

对于数轴上的点P，Q，给出如下定义：若点P到点Q的距离为d(d≥0)，则称d为点P到点Q的d追随值，记作d[PQ]．例如，在数轴上点P表示的数是2，点Q表示的数是5，则点P到点Q的d追随值为d[PQ]=3．

问题解决：

(1)点M，N都在数轴上，点M表示的数是1，且点N到点M的d追随值d[MN]=a(a≥0)，则点N表示的数是_____(用含a的代数式表示)；

(2)如图，点C表示的数是1，在数轴上有两个动点A，B都沿着正方向同时移动，其中A点的速度为每秒3个单位，B点的速度为每秒1个单位，点A从点C出发，点B表示的数是b，设运动时间为t(t>0)．

①当b=4时，问t为何值时，点A到点B的d追随值d[AB]=2；

②若0<t≤3时，点A到点B的d追随值d[AB]≤6，求b的取值范围．

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对于数轴上的A,B,C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”.

例如数轴上点A,B,C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A, C的“联盟点”.

（1）若点A表示数-2, 点B表示的数2，下列各数，0，4，6所对应的点分别C1，C2 ，C3 ，C4，其中是点A,B的“联盟点”的是　　　　 ；

（2）点A表示数-10, 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：

①若点P在点B的左侧，且点P是点A, B的“联盟点”，求此时点P表示的数；

②若点P在点B的右侧，点P，A, B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，写出此时点P表示的数　　　　 .

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对于数轴上不重合的两点A，B，给出如下定义：若数轴上存在一点M，通过比较线段AM和BM的长度，将较短线段的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”. 若线段AM和BM的长度相等，将线段AM或BM的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．

(1)当数轴上原点为O，点A表示的数为-1，点B表示的数为5时．

①点O到线段AB的“绝对距离”为____；

②点M表示的数为，若点M到线段AB的“绝对距离”为3，则的值为______；

(2)在数轴上，点P表示的数为-6，点A表示的数为-3，点B表示的数为2. 点P以每秒2个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点B同时以每秒1个单位长度的速度向负半轴方向移动. 设移动的时间为秒，当点P到线段AB的“绝对距离”为2时，求的值．

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阅读理解，完成下列各题

定义：已知A、B、C 为数轴上任意三点，若点C 到A 的距离是它到点B 的距离的2 倍，则称点C 是[A，B]的2 倍点．例如：如图1，点C 是[A，B]的2 倍点，点D 不是[A，B]的2 倍点，但点D 是[B，A]的2 倍点，根据这个定义解决下面问题：

（1）在图1 中，点A 是　　 　的2倍点，点B是　　 　的2 倍点；（选用A、B、C、D 表示，不能添加其他字母）；

（2）如图2，M、N 为数轴上两点，点M 表示的数是﹣2，点N 表示的数是4，若点E是[M，N]的2倍点，则点E 表示的数是　　 　；

（3）若P、Q 为数轴上两点，点P在点Q的左侧，且PQ=m，一动点H从点Q 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t 秒，求当t 为何值时，点H 恰好是P和Q两点的2倍点？（用含m 的代数式表示）

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在数轴上，把表示数1的点称为基准点，记作点. 对于两个不同的M和N，若点M、点N到点的距离相等，则称点M与点N互为基准变换点. 例如：图中，点M表示数，点N表示数3，它们与基准点的距离都是2个单位长度，点M与点N互为基准变换点.

（1）已知点A表示数a，点B表示数b，点A与点B互为基准变换点.

① 若a=0，则b=　　　　　　 ；若，则b=　　　　　　 ；

② 用含a的式子表示b，则b=　　　　　　 ；

（2）对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘以，再把所得数表示的点沿着数轴向左移动3个单位长度得到点B. 若点A与点B互为基准变换点，则点A表示的数是　　　　　　 ；

（3）点P在点Q的左边，点P与点Q之间的距离为8个单位长度．对P、Q两点做如下操作：点P沿数轴向右移动k（k>0）个单位长度得到， 为的基准变换点，点沿数轴向右移动k个单位长度得到， 为的基准变换点，……,依此顺序不断地重复，得到， ，…， . 为Q的基准变换点,将数轴沿原点对折后的落点为， 为的基准变换点, 将数轴沿原点对折后的落点为，……，依此顺序不断地重复，得到， ，…， .若无论k为何值， 与两点间的距离都是4，则n=　　　　 .

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在数轴上，把表示数1的点称为基准点，记作点。对于两个不同的点M和N，若点M、点N到点的距离相等，则称点M与点N互为基准变换点。例如：图中，点M表示数-1，点N表示数3，它们与基准点的距离都是2个单位长度，点M与点N互为基准变换点。

（1）已知点A表示数a，点B表示数b，点A与点B互为基准变换点。

①若a，则b=　　　　　　 ；若a=4，则b=　　　　　　 ；

②用含a的式子表示b，则b=　　　　　　 ；

（2）对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘以，再把所得数表示的点沿着数轴向左移动4个单位长度得到点B。 若点A与点B互为基准变换点，则点A表示的数是______；

（3）点P在点Q的左边，点P与点Q之间的距离为10个单位长度。对P、Q两点做如下操作：点P沿数轴向右移动k（k>0）个单位长度得到P1，P2为P1的基准变换点，点P2沿数轴向右移动k个单位长度得到P3，P4为P3的基准变换点，……，依此顺序不断地重复，得到P5，P6，…，Pn。Q1为Q的基准变换点，将数轴沿原点对折后Q1的落点为Q2，Q3为Q2的基准变换点，将数轴沿原点对折后Q3的落点为Q4，……，依此顺序不断地重复，得到Q5，Q6，…，Qn。若无论k为何值，Pn 与Qn 两点间的距离都是6，则n=　　　　　　　　 。

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探究规律

在数轴上，把表示数1的点称为基准点，记作点O．对于两个不同点M和N，若点M和点N到点O的距离相等，则称点M与点N互为基准变换点．例如：图1中MO=NO=2，则点M和点N互为基准变换点．

发现：（1）已知点A表示数a，点B表示数b，点A与点B互为基准变换点．

①若a=0，则b=　　 　；若a=4，则b=　　 　；

②用含a的式子表示b，则b=　　 　；

应用：（2）对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘以，再把所得数表示的点沿着数轴向左移动3个单位长度得到点B．若点A与点B互为基准变换，则点A表示的数是多少？

探究：（3）点P是数轴上任意一点，对应的数为m，对P点做如下操作：P点沿数轴向右移动k（k＞0）个单位长度得到P1，P2为P1的基准变换点，点P2沿数轴向右移动k个单位长度得到点P3，点P4为P3的基准变换点，“…依次顺序不断的重复，得到P6…，求出数轴上点P2018表示的数是多少？（用含m的代数式表示）

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（给出定义）

数轴上顺次有三点A、C、B,若点C到点A的距离是点C到点B的距离的3倍,我们就称点C是(A、B)的“梦想点”例如:图①中,点A、B表示的数分别为-2、2,表示数1的点C是(A、B)的“梦想点”；图②中,点A、B表示对的数分别为-2、2，表示-1的点C是(B、A)的“梦想点.

（解决问题）

(1)若数轴上M、N两点所表示的数分别为且满足求出(M、N)的“梦想点”表示的数；

(2)如图③,在数轴上点A、B表示的数分别为-15和65,点P从点A出发沿数轴向右运动:

①若点P运动到点B停止,则当P、A、B中恰好有一个点为其余两个点的“梦想点”时,求这个点表示的数；

②若点P运动到B后,继续沿数轴向右运动的过程中,是否还存在点P、A、B中恰好有一个点为其余两点的“梦想点”的情况?若存在,请直接写出此时以PA、PB为邻边长的长方形的周长；若不存在,请说明理由.

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【阅读理解】

若， ， 为数轴上三点，若点到的距离是点到的距离的倍，我们就称点是的优点．例如，如图①，点表示的数为，点表示的数为．表示数的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是的优点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么但点是的好点．

【知识运用】

如图②，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为．

（）数__________所表示的点是的优点．

（）如图③，， 为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为．现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当为何值时， 、和中恰有一个点为其余两点的好点？（请直接写出答案）

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.A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，我们就称点C是【A，B】的和谐点.例如：图1中，点A表示的数为-1，点B表示的数为2。表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1.那么点C是【A，B】的和谐点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的和谐点，但点D是【B，A】的和谐点

（1）若数轴上M，N两点所表示的数分别为且满足，请求

出【M，N】的和谐点表示的数；

（2）如图2，A，B在数轴上表乐的数分别为-40和20，现有一点P从点B出发向左运动

①若点P到达点A停止，则当P点运动多少个单位时P，A，B中恰有一个点为其余两点的和谐点？

②若点P到达点A后继续向左运动，是否存在使得P，A，B中恰有一个点为其余两点的和谐点的情况？若存在，请直接写出此时PB的距离，若不存在，请说明理由.

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