下面是小晶设计的“作互相垂直的两条直线”的尺规作图过程.
作法:如图,
①在平面内任选一点O,作射线OA,OB;
②以O为圆心,以任意长为半径作弧,分别交OA于点C,交OB于点D;
③分别以C,D为圆心,以大于CD的同样长为半径作弧,两弧交于∠AOB内部一点P;
④连接CP、PD;
⑤作直线OP,作直线CD,两直线相交于点E;则直线CD与OP就是所求作的互相垂直的两条直线.根据小晶设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:∵OC= ,CP= ,OP=OP
∴△OPC≌△OPD
∴∠AOP=∠BOP.
∴OE是△COD的高线( )(填推理的依据)
即OE⊥CD.
∴CD与OP互相垂直
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下面是小晶设计的“作互相垂直的两条直线”的尺规作图过程.
作法:如图,
①在平面内任选一点O,作射线OA,OB;
②以O为圆心,以任意长为半径作弧,分别交OA于点C,交OB于点D;
③分别以C,D为圆心,以大于CD的同样长为半径作弧,两弧交于∠AOB内部一点P;
④连接CP、PD;
⑤作直线OP,作直线CD,两直线相交于点E;则直线CD与OP就是所求作的互相垂直的两条直线.根据小晶设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:∵OC= ,CP= ,OP=OP
∴△OPC≌△OPD
∴∠AOP=∠BOP.
∴OE是△COD的高线( )(填推理的依据)
即OE⊥CD.
∴CD与OP互相垂直
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下面是小明设计的“作角的平分线”的尺规作图的过程.
已知:如图1,.
求作:射线,使它平分.
作法:如图2,
①以点为圆心,任意长为半径作弧,交于点,交于点;
②分别以点,为圆心,以大于的同样长为半径作弧,两弧交于点;
③作射线.
所以射线就是所求作的射线.
根据小明设计的尺规作图的过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明.
证明:连接,.
在和中,
∴≌( )(填推理的依据).
∴ (全等三角形的 相等).
即射线平分(角平分线定义).
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下面是小芸设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程.
已知:△ABC.
求作:△ABC的边BC上的高AD.
作法:①以点A为圆心,适当长为半径画弧,
交直线BC于点M,N;
②分别以点M,N为圆心,以大于MN的长为半径画弧,两弧相交于点P;
③作直线AP交BC于点D,则线段AD即为所求△ABC的边BC上的高.
根据小芸设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明:
证明:∵AM= ,MP= ,
∴AP是线段MN的垂直平分线.( )(填推理的依据)
∴AD⊥BC于D,即线段AD为△ABC的边BC上的高.
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下面是“已知底边及底边上的高线作等腰三角形”的尺规作图过程.
已知:线段.
求作:等腰,使, , 边上的高为.
作法:如图,
()作线段;
()作线段的垂直平分线交于点;
()在射线上顺次截取线段,连接, .
所以即为所求作的等腰三角形.
请回答:得到是等腰三角形的作图依据是:__________.
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下面是课本中“作一个角等于已知角”的尺规作图过程.
已知:∠AOB.
求作:一个角,使它等于∠AOB.
作法:如图
(1)作射线O'A';
(2)以O为圆心,任意长为半径作弧,交OA于C,交OB于D;
(3)以O'为圆心,OC为半径作弧C'E',交O'A'于C';
(4)以C'为圆心,CD为半径作弧,交弧C'E'于D';
(5)过点D'作射线O'B'.
则∠A'O'B'就是所求作的角.
请回答:该作图的依据是_____.
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下面是小东设计的“作中边上的高线”的尺规作图过程.
已知:.
求作:中边上的高线.
作法:如图,
①以点为圆心,的长为半径作弧,以点为圆心,的长为半径作弧,两弧在下方交于点;
②连接交于点.
所以线段是中边上的高线.
根据小东设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:∵ , ,
∴点,分别在线段的垂直平分线上( )(填推理的依据).
∴垂直平分线段.
∴线段是中边上的高线.
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下面是小东设计的“作中边上的高线”的尺规作图过程.
已知:.
求作:中边上的高线.
作法:如图,
①以点为圆心,的长为半径作弧,以点为圆心,的长为半径作弧,两弧在下方交于点;
②连接交于点.
所以线段是中边上的高线.
根据小东设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:∵ , ,
∴点,分别在线段的垂直平分线上( )(填推理的依据).
∴垂直平分线段.
∴线段是中边上的高线.
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老师给同学们布置了一个“在平面内找一点,使该点到等腰三角形的三个顶点的距离相等”的尺规作图任务:
下面是小聪同学设计的尺规作图过程:
已知:如图,中,,
求作:一点,使得.
作法:
①作的平分线交于点;
②作边的垂直平分线,与相交于点;
③连接,
所以,点就是所求作的点.
根据小聪同学设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:∵,平分交于点,
∴是的垂直平分线;( )(填推理依据)
∴.
∵垂直平分,交于点,
∴;( )(填推理依据)
∴.
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下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程:
已知:直线l和l外一点P.(如图1)
求作:直线l的垂线,使它经过点P.
作法:如图2
(1)在直线l上任取两点A,B;
(2)分别以点A,B为圆心,AP,BP长为半径作弧,两弧相交于点Q;
(3)作直线PQ.
所以直线PQ就是所求的垂线.
请回答:该作图的依据是_________________________________________.
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下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程:
已知:直线l和l外一点P.(如图1)
求作:直线l的垂线,使它经过点P.
作法:如图2
(1)在直线l上任取两点A,B;
(2)分别以点A,B为圆心,AP,BP长为半径作弧,两弧相交于点Q;
(3)作直线PQ.
所以直线PQ就是所求的垂线.
请回答:该作图的依据是_________________________________________.
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