下面是小芸设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：△ABC的边BC上的高AD．
作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，
交直线BC于点M，N；
②分别以点M，N为圆心，以大于
MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；
③作直线AP交BC于点D，则线段AD即为所求△ABC的边BC上的高．
根据小芸设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵AM＝ ，MP＝ ，
∴AP是线段MN的垂直平分线．（ ）（填推理的依据）
∴AD⊥BC于D，即线段AD为△ABC的边BC上的高．
八年级数学解答题中等难度题
下面是小芸设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：△ABC的边BC上的高AD．
作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，
交直线BC于点M，N；
②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；
③作直线AP交BC于点D，则线段AD即为所求△ABC的边BC上的高．
根据小芸设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵AM＝ ，MP＝ ，
∴AP是线段MN的垂直平分线．（ ）（填推理的依据）
∴AD⊥BC于D，即线段AD为△ABC的边BC上的高．
八年级数学解答题中等难度题查看答案及解析
老师给同学们布置了一个“在平面内找一点，使该点到等腰三角形的三个顶点的距离相等”的尺规作图任务：
下面是小聪同学设计的尺规作图过程：
已知：如图，
中，
，
求作：一点
，使得
.
作法：
①作
的平分线
交
于点
；
②作边
的垂直平分线
，与相交于点；
③连接
，
所以，点就是所求作的点.
根据小聪同学设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：∵，平分交于点，
∴
是的垂直平分线；（ ）（填推理依据）
∴
.
∵垂直平分，交于点，
∴
；（ ）（填推理依据）
∴.
八年级数学解答题中等难度题查看答案及解析
下面是小明设计的“作角的平分线”的尺规作图的过程．
已知：如图1，
．
求作：射线
，使它平分．
作法：如图2，
①以点
为圆心，任意长为半径作弧，交
于点
，交
于点
；
②分别以点，为圆心，以大于
的同样长为半径作弧，两弧交于点；
③作射线．
所以射线就是所求作的射线．
根据小明设计的尺规作图的过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：连接
，
．
在
和
中，
∴≌( )(填推理的依据)．
∴ (全等三角形的 相等)．
即射线平分(角平分线定义)．
八年级数学解答题中等难度题查看答案及解析
下面是小东设计的“作
中边上的高线”的尺规作图过程.
已知：.
求作：中边上的高线.
作法：如图，
①以点
为圆心，
的长为半径作弧，以点
为圆心，
的长为半径作弧，两弧在下方交于点
；
②连接
交于点.
所以线段是中边上的高线.
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：∵ 
， 
，
∴点，分别在线段的垂直平分线上（ ）（填推理的依据）.
∴垂直平分线段.
∴线段是中边上的高线.
八年级数学解答题中等难度题查看答案及解析
下面是小东设计的“作中边上的高线”的尺规作图过程.
已知：.
求作：中边上的高线.
作法：如图，
①以点为圆心，的长为半径作弧，以点为圆心，的长为半径作弧，两弧在下方交于点；
②连接交于点.
所以线段是中边上的高线.
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：∵ ， ，
∴点，分别在线段的垂直平分线上（ ）（填推理的依据）.
∴垂直平分线段.
∴线段是中边上的高线.
八年级数学解答题中等难度题查看答案及解析
下面是“已知底边及底边上的高线作等腰三角形”的尺规作图过程．
已知：线段
．
求作：等腰
，使
， 
， 
边上的高为
．
作法：如图，
（
）作线段；
（
）作线段的垂直平分线
交于点
；
（
）在射线
上顺次截取线段
，连接
， 
．
所以即为所求作的等腰三角形．
请回答：得到是等腰三角形的作图依据是：__________．
八年级数学填空题中等难度题查看答案及解析
阅读下列材料
下面是小明同学“作一个角等于
的直角三角形”的尺规作图过程．
已知：线段(如图1)
求作：，使
，
，
作法：如图2，
(1)分别以点
，点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接
(2)连接并延长，使得
；
(3)连接
就是所求的直角三角形
证明：连接．
由作图可知，
，
∴
是等边三角形(等边三角形定义)
∴
(等边三角形每个内角都等于)
∴
∴
(等边对等角)
在中，
(三角形的内角和等于
)
∴
∴
(三角形的内角和等于)，即，
∴就是所求作的直角三角形
请你参考小明同学解决问题的方式，利用图3再设计一种“作一个角等于的直角三角形”的尺规作图过程(保留作图痕迹)，并写出作法，证明，及推理依据．
八年级数学解答题中等难度题查看答案及解析
已知线段AB、BC, ∠ABC=90°,求作矩形ABCD.
（1）小王同学的作图痕迹如图1，请你写出他的作法；
（2）请你再设计另一种尺规作图的方法作出所求图形，保留痕迹，不必写作法.
八年级数学解答题简单题查看答案及解析
下面是小晶设计的“作互相垂直的两条直线”的尺规作图过程．
作法：如图，
①在平面内任选一点O，作射线OA，OB；
②以O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交OA于点C，交OB于点D；
③分别以C，D为圆心，以大于CD的同样长为半径作弧，两弧交于∠AOB内部一点P；
④连接CP、PD；
⑤作直线OP，作直线CD，两直线相交于点E；则直线CD与OP就是所求作的互相垂直的两条直线．根据小晶设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵OC＝ ，CP＝ ，OP＝OP
∴△OPC≌△OPD
∴∠AOP＝∠BOP．
∴OE是△COD的高线（ ）（填推理的依据）
即OE⊥CD．
∴CD与OP互相垂直
八年级数学解答题中等难度题查看答案及解析
阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：△ABC，
尺规作图：求作∠APC＝∠ABC．
小明同学的主要作法如下：
如图甲：①作∠CAD＝∠ACB，且点D与点B在AC的异侧；②在射线AD上截取AP＝CB，连结CP．所以∠APC＝∠ABC．
问题：小明的作法正确吗？请你用帮助小明写出证明过程．
八年级数学解答题中等难度题查看答案及解析