我们知道,三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心,已知点I为△ABC的内心.
(1)如图1,连接AI并延长交BC于点D,若AB=AC=3,BC=2,求ID的长;
(2)如图2,过点I作直线交AB于点M,交AC于点N.
①若MN⊥AI,求证:MI2=BM•CN;
②如图3,AI交BC于点D,若∠BAC=60°,AI=4,求的值.
九年级数学解答题中等难度题
我们知道,三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心,已知点I为△ABC的内心.
(1)如图1,连接AI并延长交BC于点D,若AB=AC=3,BC=2,求ID的长;
(2)如图2,过点I作直线交AB于点M,交AC于点N.
①若MN⊥AI,求证:MI2=BM•CN;
②如图3,AI交BC于点D,若∠BAC=60°,AI=4,求的值.
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(本题10分)已知,点I是△ABC的内心(三角形三个内角平分线的交点),过点B作BP⊥BI交AI的延长线于点P.
(1)如图1,若BA=BC,
①求证:BP∥AC;
②设∠BAC=α(其中α为常数),求∠BCP;
(2)如图2,CM、BN为△ABC的角平分线,若BM+CN=6,∠BAC=60°,请你直接写出点P到直线BC的距离的最大值等于___________.
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我们知道,三角形的内心是三条角平分线的交点,过三角形内心的一条直线与两边相交,两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形.若有一个图形与原三角形相似,则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”.
(1)等边三角形“內似线”的条数为 ;
(2)如图,△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求证:BD是△ABC的“內似线”;
(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,E、F分别在边AC、BC上,且EF是△ABC的“內似线”,求EF的长.
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如图,已知△ABC三个内角的平分线交于点O,延长BA到点D,使AD=AO,连接DO,若BD=BC,∠ABC=54°,则∠BCA的度数为 °.
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联想三角形内心的概念,我们可引入如下概念.
定义:到三角形的两边距离相等的点,叫做此三角形的准内心.
举例:如图1,若PD=PE,则点P为△ABC的准内心.
应用:如图2,BF为等边三角形的角平分线,准内心P在BF上,且PF=BP,求证:点P是△ABC的内心.
探究:已知△ABC为直角三角形,∠C=90°,准内心P在AC上,若PC=AP,求∠A的度数.
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三角形的内心是三角形内切圆的圆心,它也是三角形( )
A. 三条高线的交点 B. 三边垂直平分线的交点
C. 三边中线的交点 D. 三条内角平分线的交点
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