已知分别是椭圆的左、右焦点，上顶点为M。若在椭圆上存在一点P，分别连结PF1，PF2交y轴...

已知分别是椭圆的左、右焦点，上顶点为M。若在椭圆上存在一点P，分别连结PF₁，PF₂交y轴于A，B两点，且满足，则实数的取值范围为________。

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如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,且过点.设为椭圆的右焦点, 为椭圆上关于原点对称的两点,连结并延长,分别交椭圆于两点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设直线的斜率分别为,是否存在实数,使得?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.

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已知点P为椭圆C：1（a＞b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右两个焦点，|PF1|＝2|PF2|，且cos∠F1PF2，过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点．

（1）求椭圆C的离心率；

（2）若点M（1，）在C上，求△MAB面积的最大值．

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对称轴为坐标轴的椭圆与的焦点F1（﹣，0），F2（ ，0），P为椭圆上任意一点，满足|PF1|+|PF2|=4．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设不过原点O的直线l：y=kx+与椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，O到直线PQ的距离为，求S△OPQ的面积．

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对称轴为坐标轴的椭圆与的焦点F1（﹣，0），F2（，0），P为椭圆上任意一点，满足|PF1|+|PF2|=4．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设不过原点O的直线l：y=kx+m与椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．

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如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左右焦点F₁、F₂为顶点的三角形的周长为。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的焦点分别为A、B和C、D。

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程

（Ⅱ）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，证明：k₁·k₂=1

（Ⅲ）是否存在常数，使得|AB|+|CD|=|AB|·|CD|恒成立？若存在，求的值，若不存在，请说明理由。

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如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左右焦点F₁、F₂为顶点的三角形的周长为。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的焦点分别为A、B和C、D。

（1）求椭圆和双曲线的标准方程

（2）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，证明：k₁·k₂=1

（3）是否存在常数，使得|AB|+|CD|=|AB|·|CD|恒成立？

若存在，求的值，若不存在，请说明理由。

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