高三数学解答题中等难度题
(3’+5’+8’)设P(a,b)(b≠0)是平面直角坐标系xOy中的点,l是经过原点与点(1,b)的直线,记Q是直线l与抛物线x2=2py(p≠0)的异于原点的交点
(1)若a=1,b=2,p=2,求点Q的坐标;
(2)若点P(a,b)(ab≠0)在椭圆+y2=1上,p=,
求证:点Q落在双曲线4x2-4y2=1上;
(3)若动点P(a,b)满足ab≠0,p=,若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上,试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上,并说明理由.
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在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2 =2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为,过定点D(0,p)作直线与抛物线C相交于A,B两点。
(1)求抛物线C的方程;
(2)若点N是点D关于坐标原点O的对称点,求△ANB面积的最小值;
(3)是否存在垂直于y轴的直线l,使得l被以AD为直径的圆截得弦长恒为定值?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由.
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