如图，四边形ABCD是平行四边形，点A(1，0)，B(4，1)，C(4，4)．反比例函数 ...

试题详情

如图，四边形ABCD是平行四边形，点A(1，0)，B(4，1)，C(4，4)．反比例函数 (x＞0)的图像经过点D，点P是一次函数y=ax+4-4a(a0)的图像与该反比例函数图像的一个公共点．　

(1)求反比例函数的表达式；

(2)一次函数y=ax+4-4a(a0)的图像恒过一定点，直接写出这个定点的坐标.

(3)对于一次函数y=ax+4-4a(a0)，当y随x的增大而减小时，确定点P的横坐标的取值范围．(不必写出过程)

【答案】见解析

【解析】试题分析：（1）由B（4，1），C（4，4）得到BC⊥x轴，BC＝3，根据平行四边形的性质得AD＝BC＝3，AD⊥x轴，而A点坐标为（1，0），可得到点D的坐标为（1，3），然后把D（1，3）代入y＝即可得到k＝3，从而可确定反比例函数的解析式；

（2）把x＝4代入y＝ax＋4－4a得到y＝4，即可说明一次函数y＝ax＋4－4a的图象一定过点C（4，4）；

（3）设点P的横坐标为x，由于一次函数y＝ax＋4－4a过C点，并且y随x的增大而减小时，则P点的纵坐标要大于4或横坐标要大于4，当纵坐标大于4时，由y＝＞4得到x的范围，于是得到P点横坐标的取值范围．

【解析】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，

∵B（4，1），C（4，4），

∴BC⊥x轴，AD＝BC＝3，AD⊥x轴，

而A点坐标为（1，0），

∴点D的坐标为（1，3）．

∵反比例函数y＝（x＞0）的函数图象经过点D（1，3），

∴k＝1×3＝3，

,∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）当x＝4时，y＝ax＋4－4a＝4a＋4－4a＝4，

∴一次函数y＝ax＋4－4a（a≠0）的图象一定过点C（4，4）；

（3）设点P的横坐标为x，

∵一次函数y＝ax＋4－4a（a≠0）过C点，并且y随x的增大而减小，

∴P点的纵坐标要大于4或横坐标大于4（即x＞4），

当纵坐标大于4时，

y＝＞4，

解得：x＜，

∵P在第一象限，

∴0＜x＜，

则P点的横坐标的范围为0＜x＜或x＞4，

点睛：本题考查了反比例函数综合题：点在函数图象上，则点的横纵坐标满足图象的解析式；利用平行四边形的性质确定点的坐标．

【题型】解答题
【结束】
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如图，已知A(－4，n)、B(3，4)是一次函数y1＝kx＋b的图象与反比例函数的图象的两个交点，过点D(t，0)（0＜t＜3）作x轴的垂线，分别交双曲线和直线y1＝kx＋b于P、Q两点

(1) 直接写出反比例函数和一次函数的解析式

(2) 当t为何值时，S△BPQ＝S△APQ

(3) 以PQ为边在直线PQ的右侧作正方形PQMN，试说明：边QM与双曲线（x＞0）始终有交点

八年级数学解答题困难题