(本题满分16分)
已知圆,点,直线.
⑴求与圆相切,且与直线垂直的直线方程;
⑵在直线上(为坐标原点),存在定点(不同于点),满足:对于圆上任一点,都有为一常数,试求所有满足条件的点的坐标.
高三数学解答题中等难度题
(本题满分16分)
已知圆,点,直线.
⑴求与圆相切,且与直线垂直的直线方程;
⑵在直线上(为坐标原点),存在定点(不同于点),满足:对于圆上任一点,都有为一常数,试求所有满足条件的点的坐标.
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已知圆,点,直线.
(1)求与圆相切,且与直线垂直的直线方程;
(2)在直线上(为坐标原点),存在定点(不同于点),满足:对于圆上任一点,都有为一常数,试求所有满足条件的点的坐标.
【答案】(1);(2)答案见解析.
【解析】试题分析:
(1)设所求直线方程为,利用圆心到直线的距离等于半径可得关于b的方程,解方程可得,则所求直线方程为
(2)方法1:假设存在这样的点,由题意可得,则,然后证明为常数为即可.
方法2:假设存在这样的点,使得为常数,则,据此得到关于的方程组,求解方程组可得存在点对于圆上任一点,都有为常数.
(1)设所求直线方程为,即,
∵直线与圆相切,∴,得,
∴所求直线方程为
(2)方法1:假设存在这样的点,
当为圆与轴左交点时,;
当为圆与轴右交点时,,
依题意,,解得,(舍去),或.
下面证明点对于圆上任一点,都有为一常数.
设,则,
∴ ,
从而为常数.
方法2:假设存在这样的点,使得为常数,则,
∴,将代入得,
,即
对恒成立,
∴,解得或(舍去),
所以存在点对于圆上任一点,都有为常数.
点睛:求定值问题常见的方法有两种:
(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
【题型】解答题
【结束】
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已知圆C:x2+y2=9,点A(-5,0),直线l:x-2y=0.
(1)求与圆C相切,且与直线l垂直的直线方程;
(2)在直线OA上(O为坐标原点),存在定点B(不同于点A),满足:对于圆C上任一点P,都有为一常数,试求所有满足条件的点B的坐标.
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