如图，在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，设M是△A1BD内任一点（不包括边界），定...

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如图，在单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设M是△A₁BD内任一点（不包括边界），定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是三棱锥M-ADA₁、三棱锥M-ABA₁、三棱锥M-ADB的体积．若

，且ax+y-108xy≥0恒成立，则正实数a的最小值为________．

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如图，在单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设M是△A₁BD内任一点（不包括边界），定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是三棱锥M-ADA₁、三棱锥M-ABA₁、三棱锥M-ADB的体积．若，且ax+y-108xy≥0恒成立，则正实数a的最小值为________．

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如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是C₁C、B₁C₁的中点．求证：MN∥平面A₁BD．

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如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分别是C₁C、B₁C₁、C₁D₁的中点，求证：
（1）AP⊥MN；
（2）平面MNP∥平面A₁BD．
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如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分别是C₁C、B₁C₁、C₁D₁的中点，求证：
（1）AP⊥MN；
（2）平面MNP∥平面A₁BD．
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如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长是1，过A点作平面A₁BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题：
①点H是△A₁BD的中心；
②AH垂直于平面CB₁D₁；
③AC₁与B₁C所成的角是90°．
其中正确命题的序号是________．

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如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长是1，过A点作平面A₁BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题：
①点H是△A₁BD的中心；
②AH垂直于平面CB₁D₁；
③AC₁与B₁C所成的角是90°．
其中正确命题的序号是________．

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如图,四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, .
（1）证明: A1BD // 平面CD1B1;
（2）求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.

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如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1．P，Q分别是棱DD₁，CD的中点．
（1）证明：AC₁⊥平面A₁BD；PQ∥平面A₁BD；
（2）探究：在棱B₁C₁上是否存在点M，使得二面角M-BD-A₁的大小为45°？若存在，则求出B₁M的值；若不存在，请说明理由．

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如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，过A点作面A₁BD的垂线，垂足为P．则下列命题：
①P是△A₁BD的重心；
②AP也垂直于面CB₁D₁；
③AP的延长线必通过点C₁；
④AP与面AA₁D₁D所成角为45°．
其中，正确的命题是（）

A．①②
B．①②③
C．②③④
D．①③④
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如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，过A点作面A₁BD的垂线，垂足为P．则下列命题：
①P是△A₁BD的重心；
②AP也垂直于面CB₁D₁；
③AP的延长线必通过点C₁；
④AP与面AA₁D₁D所成角为45°．
其中，正确的命题是（）

A．①②
B．①②③
C．②③④
D．①③④
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