已知函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）是定义在R上的奇函数．且x=-1时，取得极...

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已知函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定义在R上的奇函数．且x=-1时，取得极值1．
（1）求f（x）的解析式．
（2）曲线上是否存在两个不同的点A、B，使过A、B的切线都垂直于AB．说明理由．

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已知函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定义在R上的奇函数．且x=-1时，取得极值1．
（1）求f（x）的解析式．
（2）曲线上是否存在两个不同的点A、B，使过A、B的切线都垂直于AB．说明理由．
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已知函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．
【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问，利用函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x³－3x
(2)中设切点为(x₀，x₀³－3x₀)，因为过点A(2，m)，所以∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)分离参数∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6
然后利用g(x)＝－2x³＋6x²－6函数求导数，判定单调性，从而得到要是有三解，则需要满足－6<m<2
【解析】
(1)f′(x)＝3ax²＋2bx＋c
依题意
又f′(0)＝－3
∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x³－3x
(2)设切点为(x₀，x₀³－3x₀)，
∵f′(x)＝3x²－3，∴f′(x₀)＝3x₀²－3
∴切线方程为y－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(x－x₀)
又切线过点A(2，m)
∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)
∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6
令g(x)＝－2x³＋6x²－6
则g′(x)＝－6x²＋12x＝－6x(x－2)
由g′(x)＝0得x＝0或x＝2
∴g(x)在(－∞，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，＋∞)单调递减．
∴g(x)_极小值＝g(0)＝－6，g(x)_极大值＝g(2)＝2
画出草图知，当－6<m<2时，m＝－2x³＋6x²－6有三解，
所以m的取值范围是(－6,2)．

高三数学解答题简单题查看答案及解析
已知函数f（x）=ax³+bx²+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为-3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若过点A（2，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．
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已知函数f（x）=ax³+bx²+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为-3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若过点A（2，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．
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已知函数f（x）=ax³+bx²+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为-3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若过点A（2，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．
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已知函数f（x）=ax³+bx²+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为-3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若过点A（2，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．
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已知函数f（x）=ax³+bx²+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为-3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若过点A（2，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．
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已知函数f（x）=ax³+bx²+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为-3．
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（Ⅱ）若过点A（2，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．
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（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若过点A（2，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．
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已知函数f（x）=ax³+bx²+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为-3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若过点A（2，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．
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