已知函数，.（Ⅰ）若函数依次在处取到极值.求的取值范围；（Ⅱ）若存在实数，使对任意的，不等...

已知函数，.

（Ⅰ）若函数依次在处取到极值.求的取值范围；

（Ⅱ）若存在实数，使对任意的，不等式 恒成立.求正整数的最大值.

【解析】第一问中利用导数在在处取到极值点可知导数为零可以解得方程有三个不同的实数根来分析求解。

第二问中，利用存在实数，使对任意的，不等式 恒成立转化为，恒成立，分离参数法求解得到范围。

【解析】
（1）

①

（2）不等式 ，即，即.

转化为存在实数，使对任意的，不等式恒成立.

即不等式在上恒成立.

即不等式在上恒成立.

设，则.

设，则，因为，有.

故在区间上是减函数。又

故存在，使得.

当时，有，当时，有.

从而在区间上递增，在区间上递减.

又

所以当时，恒有；当时，恒有；

故使命题成立的正整数m的最大值为5

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已知函数（为自然对数的底数）

（Ⅰ）若函数有三个极值点，求的取值范围

（Ⅱ）若存在实数，使对任意的，不等式恒成立，求正整数的最大值.

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（本小题满分12分）已知函数（,为自然对数的底数）

（Ⅰ）若函数有三个极值点,求的取值范围

（Ⅱ）若存在实数,使对任意的,不等式恒成立,求正整数的最大值

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（本小题满分12分）已知函数（,为自然对数的底数）

（Ⅰ）若函数有三个极值点,求的取值范围

（Ⅱ）若存在实数,使对任意的,不等式恒成立,求正整数的最大值

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已知函数在处取得极值.

(1)求实数的值；

(2)若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围；

(3)证明:对任意的正整数,不等式都成立.

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已知函数在处取得极值.

（1）求实数的值；

（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围；

（3）证明:对任意的正整数,不等式…都成立.

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已知函数在处取得极值.

（1）求实数的值；

（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；

（3）证明：对任意的正整数，不等式都成立.

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已知函数在处取得极值0．

（I）求实数、的值；

（II）若关于的方程在区间[0，2]上恰有2个不同的实数解，求实数的取值范围；

（III）证明：对任意的正整数n＞1，不等式1++++＞都成立．

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已知函数在x = 0处取得极值0．

(1)求实数a，b的值；

(2)若关于x的方程，  在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；

(3)证明：对任意的正整数n＞1，不等式 都成立．

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下列命题中：①函数的最小值是；②对于任意实数，有且时，， ，则时，；③如果是可导函数，则是函数在处取到极值的必要不充分条件；④已知存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是。其中正确的命题是___________.

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